单调质疑

论坛上风兄关于单调性的质疑如下：
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原帖由 风萧瑟 于 2007-11-29 06:31 发表 人教Blog'EM_ h
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呵呵,谈不上高见啊. 人教Blog:Vl&D
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譬如给出的函数 f(x)=x x∈(1,2)∪(4,5) , 可以证明,这个函数在整个定义域内单调递增的, 而不需要分开描述.
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vN)?n1bf0而下面给出的函数
%n7nJ%P-vUe]0x∈(1,2)时f(x)=x 人教BlogJfW"K*NZ
x∈(4,5)时f(x)=x-3
#}G"q _0{h0则需要分开说,这是由于这个函数不单调递增所致. (譬如取 1.75<4.5, 但 1.75=f(1.75)>f(4.5)=4.5 ) 两种情形是不一样的.
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@UlX5bLee0因此分开区间来描述单调性不是本质的要求, 而是确实要从定义上去考虑函数的单调性. 如 y=1/x 这个函数在定义域的确不是单调的, 理由类似于上面第2个函数, 因此要分开说. 99楼好像表达了相同的观点. 人教BlogjZ1w9sF_K/z

.aKK#rQ'y0从这个层面上来讲,定义域是个别点的函数(例如数列)的单调性是可以统一在一起的, 而且非常自然。
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\4\d3O]&nS r1v4B8j0我的答复是：
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B]rR \6m0原帖由 羊羊羊羊 于 2007-11-29 11:51 发表
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风兄，你好。 人教BlogsJk[c"^2a
其实我何尝不希望简单描述呢？
tXs\:pSkf0离散的单调性其实是一个一直在争议的问题。 人教BlogH%y*g2u:a
所以高考是不会考到这个位置。
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bW2}0但是对于指定区间的问题，我想为了统一教学，还是分开讲比较好，避免出现混淆。
SM1AQ1\plm r~0我的教学强调的是高考安全。
a ~QdM?] B0如果不强调，很可能出现一些高考不可预测的问题。
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I!C%mZ7m,K0课可以有多种上法，但我课目的很明确，为的是以后的高考服务。 人教Blog3h@"R |x(F`5C/vRZ
数列那章可以理解为增函数上的点的问题。人教Blog ktaP;{$G9_7A(FH7t
人教Blog;aq gM1s&}
今天和小呆交流的时候谈到了昨天风兄关于单调性的质疑，即是否需要把单调性的定义区间拆开说。这里我的解释大致如下：
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`T5ZtV {?T&Q1\0离散本来就是颇具争议的单调性问题之一，我们讲课，特别是讲新课，要尽量避免模糊问题的讲授。
0W*fZ/]X zg}o0
9K:JGid}1}0这也反映出一组我曾提出的教学上的矛盾：
9a3z2w6c6M!Ly6j@9CV0一块是理论的严谨性，一块是教学教育的简单性。
%T:F;|q3?6C0通常在搞理论研究方面，严谨是绝对重要的，在搞教学教育方面，严谨则需要有一个区间。 人教Blog
MY W)N#|e+Q&EF+fa
从高中课程来讲，单调性的这个延伸就不利课堂特别是新课讲授，容易混淆概念。 人教Blog G D:w[!cO
再比如，函数意义的理解，高中讲的函数其实为单值函数，但是这样的内容补充进去只会引起更大的混乱，所以干脆定死掉，高中函数就是单值的。 人教Blogd rt;H f o!d
初中讲几何也一样，人说几何学，欧式空间曲面的几何要算进去么？数学理论要算，但是你不可能补充进去，否则凭初中生的理解能力大部分人要倒在地上了。 人教BlogD4D2N,h'h9A"Cm
小学讲数字，就干脆地讲，数字都是正的，不讲负的。为什么？他们的理解能力有限，从简单的事物接受起才是引导的方式。 人教Blog
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W#f,X/G4]v$A*@]0所以说，教学的严谨性有着一定特殊区间，这个区间的界定是来自于学生的数学认识程度。