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十九分之一的浪费

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发表于 2016-7-21 17:18:39 |显示全部楼层
{:1_12:}浪费现象是大家所不愿看到的,浪费一直受到举国上下的坚决反对。建国初期,党中央展开“三反运动”,即反贪污、反浪费、反官僚主义。在“三反”中的第二个内容就是“反浪费”,可见以毛主席为首的党中央旗帜鲜明地反对浪费的坚强态度。记得笔者在读小学时,曾经背得滚瓜烂熟的“鼓足干劲,力争上游,多快好省地建设社会主义”的社会主义建设总路线。在社会主义建设总路线中,提倡“多快好省”,反对 “少慢差费”。当年,我们的“晨晚呼队”的口号内容就有“反对少慢差费”。费,就是浪费。
浪费的种类很多,生产生活浪费、办公管理浪费、规划建设浪费、人才资源浪费等等。反对浪费代代相传。习近平总书记一上任就狠抓“反对浪费”。去年,习近平总书记在《舌尖上的浪费》材料上作出重要批示:从文章反映的情况看,餐饮环节上的浪费现象触目惊心。广大干部群众对餐饮浪费等各种浪费行为特别是公款浪费行为反映强烈。联想到我国还有为数众多的困难群众,各种浪费现象的严重存在令人十分痛心。浪费之风务必狠刹!要加大宣传引导力度,大力弘扬中华民族勤俭节约的优秀传统,大力宣传节约光荣、浪费可耻的思想观念,努力使厉行节约、反对浪费在全社会蔚然成风……要采取针对性、操作性、指导性强的举措,加强监督检查,鼓励节约,整治浪费。
有人可能会说,“节约光荣、浪费可耻”逐渐成为广大人民群众的共识,却没听说过十九分之一的浪费?
“十九分之一”的数目虽然很小,可是十九分之一是一个确实的数据,是通过数学计算才得出的。它是一道小学生的数学计算题。
请看,《人民教育出版社义务教育教科书小学数学五年级上册107页》:
2、大象馆和猴山相距60m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树(两端不栽),相邻两棵树的距离是3m。一共要栽多少棵?
这是《数学广角——植树问题》的第2个例题,教材通过学生充分讨论得出答案。一位男生说:“我们也先画个简单的线段图看看。”于是画出了两个可比较的4段线段图,一个图在两端点画上了“点”(表示两端要栽),另一个图在两端点没画上点,即空着(表示两端不栽)。又一个男孩说:“两端都不栽,栽的棵数比间隔数……”根据所画图意,得出“栽的棵数比间隔数少1”。最后那位女孩说:“小路两旁都要栽树,所以还要……”根据图意分析,小路两旁都要栽树,还要乘以2
根据讨论分析,列式解答得:
一边有多少个间隔?
60÷3=20(个)
一边要栽多少棵树(两端不栽)?
20-1=19(棵)
两边一共要栽多少棵树?
19×2=38(棵)
答:一共要栽38棵树。
为什么一定要把树栽在两端点呢?遇到两端点是建筑物,即大象馆和猴山就没办法栽树了?是的,用“端点法”计算直线植树问题,确实会遇到类似建筑物、池塘、河流、山岩等无法栽树的处境。那么笔者不禁要问,你为什么还要老守着那个本来就不现实的“两端要栽的加1法”呢?笔者认为“两端要栽的加1法”是片面的,缺乏实践支撑。因为“两端要栽的加1法”是有条件限制的,其条件为:植树段长度≥(1+计划植树棵数)×植树间距。只有充分满足上述条件时才可以“两端要栽”。(其实,上述条件就是“间距中点法”的变式,因为它的每一棵树也必须栽在每一个间隔的中点)。
笔者认为“间距中点法”才是直线植树问题的真正解法。“间距中点法”即从该植树段(线段)两端点的任意一端的第一个间距中点处植下第一棵树,以下依次按间距长度种植,这样,距另一端的最后一个间距中点处就刚好植完了计划所植的树。另一方面,从算理上分析,可以先求出该植树段含有多少个这样的间距,然后在每个间距的中点植树。用这种方法植树,植树棵数正好等于间隔数,公式是:植树总长度÷间距长度=植树棵数(间隔数);植树总长度=间距长度×植树棵数;间距长度=植树总长度÷植树棵数。“间距中点法”解答直线植树问题,不用其他附加条件,只要提供植树总长度和植树间距2个条件就能顺利进行植树棵数计算。
请看“间距中点法”解答例2得:
一边有多少个间隔?
60÷3=20(个)
因为把每一棵树栽在每一个间隔的中点,也就是一个间隔一棵树:
20个=20棵
两边共栽多少棵?
20×2=40(棵)
答:一共要栽40棵树。
按教材的“两端不栽”方法下种,建筑物与树之间空荡荡的,因为建筑物与树相距1个间隔。而树与树之间虽然也是一个间隔,然而,树木有其覆盖半径,两边是树,两棵树的覆盖半径刚好接近一个间隔。而建筑物没有覆盖半径,因此出现种下这排树与建筑物之间整体上不匀称的弊端。
按“间距中点法”栽下的树木,树与建筑物相距半个间隔,树与树之间虽然也是一个间隔,然而,两边都是树,两棵树的覆盖半径差不多一个间隔,因此,整体上树与间隔和树与树之间都很匀称。
按“间距中点法”下种的树木比按“两端不栽”法下种的树木美观,而按“间距中点法”
按“间距中点法”下种的树木比按“两端不栽”法下种的树木美观,而按“间距中点法”下种的树木与按“两端不栽”法下种的树木在植树棵数方面更值得比较。
按“两端不栽”法下种的树木比按“间距中点法”下种的树木少多少棵?
40棵-38棵=2棵
浪费(少种)率是多少?
2棵÷38棵=2/38=1/19
因为按“两端不栽”法比按“间距中点法”少栽了2棵树,也就是白白浪费了两棵树的植树面积,因此,它的浪费率就是十九分之一,也就是十九分之一的浪费。
也许有人会说,应该是二十分之一的浪费,即2棵÷40棵=2/40=1/20。朋友说的不是没有道理,但是,这个“40”所表达的内涵我们的数学教材还没有给她“正名”。不好意思,请允许十九分之一作为它的浪费率,故称之十九分之一的浪费。
鉴于对例2的两种解法,“间距中点法”明明比“加1法”派生出来的“减1法”多栽了2棵树,而且还比它们植的树整体美观。在植被垂减,绿化嫌少,雾霾肆虐的当今,假如在同一的植树地段上能多栽12棵树,何乐而不为呢?
习近平主席告诫我们,“浪费之风务必狠刹”! 十九分之一的浪费,冠冕堂皇地存在于堂堂的小学数学教科书里,这种浪费现象怎能不叫人心痛呢!
上文摘自《间距中点法——直线植树问题解法再探析》67页。该书由现代教育出版社出版,书号:ISBN 987-7-5106-3780-3)

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发表于 2016-7-22 10:37:32 |显示全部楼层
浪费?少栽两棵树,就少花两棵树苗的钱,还少派两棵树栽种的人工,为什么就一定不是节约而一定是浪费呢?如果树种得越多就越不浪费,那把房屋都扒了,全种上树,人都回到树上住,全球绿化,是不是就“狠狠地”刹了浪费之风?{:1_12:}

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发表于 2016-7-22 14:26:09 |显示全部楼层
原文是指对于“植树面积”的浪费!

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发表于 2016-8-4 05:48:25 |显示全部楼层
杏花春雨江南 发表于 2016-7-22 10:37
浪费?少栽两棵树,就少花两棵树苗的钱,还少派两棵树栽种的人工,为什么就一定不是节约而一定是浪费呢?如 ...

{:1_12:}乳     牙
人类对于世界万物的认识过程犹如孩子的成长过程,在不断脱落乳牙中变得成熟起来。
记得十多年前,一件看似简单的小事却牵动了全球许多人的神筋。即新世纪和新的一千年从哪一年开始?许多人以为从2000年1月1日开始:世界卫生组织将2000年1月1日0时诞生的婴儿确定为“世纪婴儿”;一些国家称2000年奥运会为“新世纪运动会”;我国主导媒体宣布:“经北京天文台和中国2000年委员会的专家精确测算后得出结论,21世纪到达中国大陆的第一缕阳光,在2000年元旦早晨6时46分洒向浙江省温岭石塘渔港”…….然而,终于在2001元旦前夕,由美国天文台和英国皇家格林威治天文台等专家最终敲定:新世纪和新的一千年从2001年1月1日0时开始!很快,那“乳牙”脱落了。究其原因,其实很简单——公元无0年。“0”年是“元”年的意思,“0”是起始的标记。
“0”,或许干扰了直线植树问题解法,现探讨两个例题。
《人民教育出版社义务教育教科书数学五年级上册106页,数学广角——植树问题》,(例1)、同学们在全长100m的小路一边植树,每隔5m栽一棵(两端要栽)。一共要栽多少棵?
    教材引导学生在分析中找出规律:因为两端都要栽,所以栽树的棵数比间隔数多1。100m共有20个间隔,两端都要栽,所以一共要栽21棵。
笔者认为:栽21棵(间隔数加1)的解法是错误的;栽20棵(等于间隔数)才是正确的解法;“两端要栽”的现象是不存在的。
首先,让我们假设教材的解法思路:先在两端点的任意一端点上栽下第一棵树,接着依次分别按间距5m栽种,当栽到另一端点时,刚好栽完计划所栽的(21棵)树。这种解法,看起来似乎天衣无缝,正确无误,其实是大错特错的,因为第一步就错了。我们可以在植树地段摆放一根长米尺,从先前假设栽种第一棵树的那个端点摆放米尺“0” 刻度线一端,再在栽种第二棵树的位置上找到“5”刻度线,这说明0至5两刻度线之间距离是5m。按题意要求是“每5m栽1棵”,而实际却栽了2棵,多栽了1棵树,不符题意,横空添1。或许是,没把“先在两端点的任意一端点上栽下第一棵树”当作树。
其次,在“0”刻度线栽树是大错特错的主要根源,因为“0”刻度是起始点,起始点只做标记,不论大小,所以多栽了1棵树。很简单,在一条直尺上,“0”刻度线与“10”刻度线之间相距10个单位,不能说成11个单位。因此,没有“加1”的理由。
第三,笔者把(例1)的“栽树”改为“放木头”,请看:(例1)、同学们在全长100m的小路一边放木头,每根木头长5m,头尾相连排成直线。一共能放多少根木头?
100÷5=20(根)         答:一共能放20根木头。
不知有谁能放21根?还有谁能“两端都要放”一根木头呢?
其实,“两端都栽”是一种数树的现象。在公路上,人们见到一排排的树木,感觉到两端都有树木的存在,似乎觉得两端都可以栽树,因为人们无须也无从知道这公路的两个端点。如下文的(例2),即使按教材的“两端都不栽”的方法栽下了树,作为旁人的感觉,仍旧觉得“两端都栽”着树。从这个意义上说,“两端都栽”和“两端都不栽”是同一现象。当然,也不会有人在树旁写着这是按“两端都栽”下种的;那是按“两端都不栽”种下的吧!再说,即使按笔者的“间距中点法”(下文)下种的树木,数树时也离不开“两端都栽”的感觉。
作为植树的计划和过程,想要在植树段总长度“两端都栽”是不可能的,严格说是错误的。笔者认为两端中必有一端应当视为“0”刻度,如果“0”刻度强行植树,那么,为什么不在下文中的“大象馆”和“猴山”破墙植树呢?“大象馆”和“猴山”要保护,难道“0”刻度就不该保护吗?
为纠正“加1”法的错误,笔者提出了采用“间距中点法”解答直线植树问题的方法。“间距中点法”很简单,只要从该植树段(线段)两端点的任意一端的第一个间距中点处植下第一棵树,以下依次按间距种植,这样,距另一端的最后一个间距中点处就刚好植完了计划所植的树。另一方面,从算理上分析,可以先求出该植树段含有多少个这样的间距,然后在每个间距的中点植树。用这种方法植树,植树棵数正好等于间隔数,公式是:植树总长度÷间距长度=植树棵数。
采用“间距中点法”解答(例1):100÷5=20(棵)  答:一共要栽20棵。
(例2,107页)、大象馆和猴山相距60m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树(两端不栽),相邻两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵树?
这是典型的植树问题,一是两端有建筑物,二是两旁要栽树。至于两旁要栽树的问题,笔者认为只要先求出一旁栽树棵数再扩大2倍就可以了,故不作讨论。教材认为两端有建筑物就“两端不栽”了,这是很幼稚的做法,没有从本质上,从植树问题线路图上去思考问题,甚属头痛医头脚痛医脚的面上处理。不过,也好,至少已经发现了植树问题“加1”法的弊病,其实,两端本来就不该植树。
采用“间距中点法”解答(例2):60÷3×2=40(棵) 答:一共要栽40棵。
按教材提示解答(例2):(60÷3-1)×2=38(棵)    答:一共要栽38棵。
首先,笔者认为教材的解答是错误的。从所求得的结果分析,教材的解法与笔者的“间距中点法”解法相比,显而易见,少栽了2棵树,这是对宝贵的绿化面积的浪费。有哪一位教材的编委或专家会说笔者为保护绿化面积有过错,或者还是笔者的算法有错误。再说,按教材的说法,既然可以少栽1棵2棵树,那么能不能少栽3棵4棵呢?教材的严密性在哪儿?数学的严密性又在何处?
其次,已知植树段总长度和植树间距,教材却无法直接进行植树计算,得添上一个辅助条件“(两端不栽)”,且是一个既错误又多余的辅助条件,才能展开计算,还算成了一个错误的结果。当然,产生这种错误并不奇怪,因为它是(例1)“加1”法之固然的。因此,教材(例2)是对教材(例1)的错误再曝光,其节骨眼是树不能栽在(包括每一个间距之间的)端点上。
第三、采用“间距中点法”栽种的树木,在树木与树木之间,树木与建筑物之间的间距都很均匀(每棵树都享有1.5m的覆盖半径);而采用“两端不栽”的“减1”法栽种的树木与建筑物之间的间距拉大,很不得体,既少栽了树又很不美观。
笔者认为,采用“间距中点法”,无论什么环境(一端或两端是池塘、河流及建筑物等),无论什么形状(直线型的还是封闭型的),只要已知植树总长度和间距长度两个数据,就很快求得植树棵数,植树问题本来就那么简单。
“间距中点法”与“加1(减1)”法的分歧焦点在于栽种点的位置关系上,即“中点”法与“端点”法的探讨。采用“间距中点法”,规定把每一棵树都栽种在每一个间距的中点;而“加1(减)”法则硬要把每一棵树都栽种在每一个间距的端点。是非曲直终有定论。
“0”,会折弄人。在直线植树问题解法探讨中,也许不少人还被“0”的魔法愚弄着。孩子终将长大成人,孩子的乳牙终将一个一个地脱落而换成新牙。植树问题“加1(减1)”法之乳牙,终有一天也会自然脱落。
  (摘自《间距中点法——直线植树问题解法再探析》)

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发表于 2016-8-4 16:46:53 |显示全部楼层
ctwangshl 发表于 2016-8-4 05:48
乳     牙
人类对于世界万物的认识过程犹如孩子的成长过程,在不断脱落乳牙中变得成熟起来。
记 ...

在20厘米刻度尺上,通常在整厘米(包括0厘米)处可有一条“较长的刻度线”。请你数数,在20厘米刻度尺上一共有多少条“较长的刻度线”?0刻度线这颗“乳牙”该不该脱落?

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发表于 2016-8-4 17:27:06 |显示全部楼层
天边的云彩6 发表于 2016-8-4 16:46
在20厘米刻度尺上,通常在整厘米(包括0厘米)处可有一条“较长的刻度线”。请你数数,在20厘米刻度尺上 ...


“0”刻度当然存在,它是一个标记!:)

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发表于 2016-8-4 17:50:38 |显示全部楼层
ctwangshl 发表于 2016-8-4 17:27
“0”刻度当然存在,它是一个标记!

n厘米处的刻度线都“是一个标记”,不只是0刻度处!
在20厘米长的尺子上,每1厘米划一条“刻度线”,两端都要画(事实就是这样),一共有20+1条“较长的刻度线”!
公路上的“里程碑”,从0公里处开始,每一公里竖立一块里程碑,至10公里处一个要竖立10+1块里程碑!
没有0,何来1?

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发表于 2016-8-4 19:54:03 |显示全部楼层
天边的云彩6 发表于 2016-8-4 17:50
n厘米处的刻度线都“是一个标记”,不只是0刻度处!
在20厘米长的尺子上,每1厘米划一条“刻度线”,两端 ...

上述“0”刻度至“20”刻度间都是刻度,都是标记,但“0”至“20”刻度之间只有20个单位,没有21个单位。“十九分之一的浪费”不是明摆着的吗?:)

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发表于 2016-8-4 20:08:22 |显示全部楼层
ctwangshl 发表于 2016-8-4 19:54
上述“0”刻度至“20”刻度间都是刻度,都是标记,但“0”至“20”刻度之间只有20个单位,没有21个单位。 ...

既然“1”刻度、“2”刻度……“20”刻度都是符合要求的刻度,都是标记,“0”刻度也是标记,为什么1~20刻度处可以画较长的刻度线,而0刻度处就不能画较长的刻度线呢?
事实上是:0刻度处也画了较长的刻度线!尽管0”至“20”刻度之间只有20个单位,没有21个单位。却明明白白地画了20+1条较长的刻度线!这点你不否认吧?
这就说明了“+1法”这种数学模型是客观存在的!

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发表于 2016-8-4 20:18:24 |显示全部楼层
天边的云彩6 发表于 2016-8-4 20:08
既然“1”刻度、“2”刻度……“20”刻度都是符合要求的刻度,都是标记,“0”刻度也是标记,为什么1~20 ...

两点之间的距离是线段,有了这两个点才有其线段,这是公理。21个刻度对应20个单位,无可非议。{:1_181:}

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发表于 2016-8-4 20:26:01 |显示全部楼层
ctwangshl 发表于 2016-8-4 20:18
两点之间的距离是线段,有了这两个点才有其线段,这是公理。21个刻度对应20个单位,无可非议。 ...

对极了!“21个刻度对应20个单位”,即20个单位对应20+1个刻度,而不是20个刻度!

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发表于 2016-8-4 20:34:53 |显示全部楼层
天边的云彩6 发表于 2016-8-4 20:26
对极了!“21个刻度对应20个单位”,即20个单位对应20+1个刻度,而不是20个刻度! ...

植树问题是刻度问题吗?是打木桩吗?

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发表于 2016-8-4 20:49:18 |显示全部楼层
ctwangshl 发表于 2016-8-4 20:34
植树问题是刻度问题吗?是打木桩吗?


首先,你承认“+1法”这种数学模型是存在的了。
这种数学模型既然可以用于“刻度尺”,可以用于“打桩”,为什么就不能用于“植树”呢?

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发表于 2016-8-4 20:54:11 |显示全部楼层
天边的云彩6 发表于 2016-8-4 20:49
首先,你承认“+1法”这种数学模型是存在的了。
这种数学模型既然可以用于“刻度尺”,可以用于“打桩” ...

植树问题,归根到底是“中点法”与“端点法”的探讨。

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发表于 2016-8-4 21:03:09 |显示全部楼层
ctwangshl 发表于 2016-8-4 20:54
植树问题,归根到底是“中点法”与“端点法”的探讨。


不要含糊其辞,请把问题说清楚好吗?

你说:作为植树的计划和过程,想要在植树段总长度“两端都栽”是不可能的,严格说是错误的。笔者认为两端中必有一端应当视为“0”刻度,如果“0”刻度强行植树,那么,为什么不在下文中的“大象馆”和“猴山”破墙植树呢?“大象馆”和“猴山”要保护,难道“0”刻度就不该保护吗?

“0”刻度处有什么特殊之处,而不能栽树吗?书中注明:两端都要栽树,就说明“0”刻度处没有“大象馆”和“猴山”,是可以栽树的!要怎么“保护”这“0”刻度啊?客观实际中,“0”刻度处的那棵树是实实在在地栽在那里的!我们能视而不见吗?

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发表于 2016-8-5 10:03:35 |显示全部楼层
天边的云彩6 发表于 2016-8-4 21:03
不要含糊其辞,请把问题说清楚好吗?

你说:作为植树的计划和过程,想要在植树段总长度“两端都栽”是不 ...

“书中注明”,请问,为什么须书中注明?这其中就有奥妙。“两端要栽”,那么,两端点分别是2个半棵树。

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发表于 2016-8-5 10:13:55 |显示全部楼层
ctwangshl 发表于 2016-8-5 10:03
“书中注明”,请问,为什么须书中注明?这其中就有奥妙。“两端要栽”,那么,两端点分别是2个半棵树。 ...


哈哈,你终于说出“半棵”来了。
你栽过“半棵”树吗?
看来你没有看过我与高昌民对这一问题的讨论,你是不是先去看看?

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发表于 2016-8-5 10:23:03 |显示全部楼层
天边的云彩6 发表于 2016-8-4 21:03
不要含糊其辞,请把问题说清楚好吗?

你说:作为植树的计划和过程,想要在植树段总长度“两端都栽”是不 ...

“0”刻度包括还有一个刻度是丈量时的2端点,大象馆和猴山分别也是丈量时的2端点。同样是端点,为什么有的端点不种树了,保护了?采用不公平的双重标准,就是“加1”法造成的。“间距中点法”排解了这些矛盾。{:1_28:}

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发表于 2016-8-5 10:27:21 |显示全部楼层
天边的云彩6 发表于 2016-8-4 21:03
不要含糊其辞,请把问题说清楚好吗?

你说:作为植树的计划和过程,想要在植树段总长度“两端都栽”是不 ...

植树问题是特殊的间隔问题   

间隔问题种类很多,如:插小旗、敲时钟、登楼梯、锯木头、立线杆等。植树问题是间隔问题中的一种特殊类型。
点与间隔或许是一对孪生姐妹,孩子们用剪刀剪纸条,发现纸条段数比刀数多“1”;伸出你的小手,摸摸你的五个指头,看看你的指缝,发现指头数比指缝数多“1”;请你在白纸上画上几个点,然后把这些点用线段连起来,你就发现点的个数比线段个数多“1”;再去路边数数柳树和它们的间隔,发现树的棵数比间隔个数多“1”……在一些日常生活小事中不难发现点与间隔的关系:点的个数比间隔个数多“1”。
众所周知,2个点构成1个间隔,点是间隔的依据,有了点才有其间隔;反过来,已知间隔也一定能找到其对应的点。研究植树问题就是研究点与间隔的关系,普遍认为,植树问题中的“树”可以抽象为“点,”“间距长度”就是它的间隔。因此,有人认为植树问题就是典型的间隔问题。难免当一提到间隔问题时,有人立马联想到植树问题,似乎植树问题的点与间隔的关系是天经地义的经典范例。
“点无大小之分”,不仅说明了点的存在,且点的位置关系,还说明了点的抽象性;“点的重合与相交”包含了点的基本特性。笔者认为,点还有运动与静止之区别,太阳、地球、月亮和星星,我们都可以把它们抽象为“点”,然而,它们是在不停地运动着的;当然,假如有人在纸上画一个点,这个点,我们假设把它看作是静止的点。
因为点有运动与静止之分,所以由它连成的间隔关系也是如此。老师和学生都有亲身体会,同样是这些学生,当他们去集会排队时与出操排队时,他们的队列会有所不同,出操时的队列空间要比集会时的队列空间大得多。这是因为出操是一项运动,要给每位学生留下足够的运动空间,集会(不排除集会也是运动)时就没那么必要了。其实,我们可以把每一位学生都抽象为一个点,假如我们把出操时的学生抽象为运动的点,那么,集会时的学生就可以抽象为静止(相对而言)的点,运动与静止是相对的,学生是活生生的生命体。
人有生命,是运动体,树也有生命,也是运动体。人有时候可以抽象为一个静止的点,树有时候也会被抽象为一个静止的点。现行数学教材中的直线植树问题“两端要栽”的说法,或许把树抽象为静止的点了。然而,实践中终于发现了树木的运动性,树是活生生的运动体,因此,为了兼顾生命体就没把活生生的树栽种在建筑物、池塘里或江河里,因此,教材推出了“一端不栽”或“两端都不栽”的解题方法。笔者不禁要问:当1端或2端不栽时,你当时量出该植树段的总长度是多少?你测量时的2端点在哪里(假如是已知的植树段总长度,也必定能找到它的2个端点)?武断地采用“两端不栽”、“一端不栽”,既然你可以少栽1棵树,那么是不是还可以少栽2棵、3棵树呢?数学的严密性在哪里?真是的,明明知道植树段总长度和植树间距,却植不对树,“加1”法流产了。不过,这一下很有意思,毕竟在树木是生命体的事实面前动摇了数学教材“两端要栽”的说法。
树,是生命体,其特征在于其有覆盖半径。笔者认为插小旗、敲时钟、登楼梯、锯木头、立线杆、剪纸条等这些间隔问题中的点可以抽象为静止点来分析,因为它们之间可以找出相对静止的特征;植树问题和排队问题等间隔问题中的点应该抽象为运动点来参考,因为他们之间充满着动态和活力。现行数学教材中直线植树问题把树当做“静止点”来思考,忽略了树是“运动点”的特征,忽视了树木固有的覆盖半径,缺乏实践支撑。若2端都要栽,那么,2端点分别各有半棵树包括其覆盖半径必然落在不属于规定的植树地界内,2边合起来刚好是“1”棵树。植树(出题)时所规定的间距,科学地为各类树种提供至少足够的生长空间,“二分之一间距”也许是每棵树冠充足的覆盖半径。笔者认为现行数学教材直线植树问题中两端都要栽等于间隔数加1的方法是黑板上画点,纸上栽树,完全没有实际意义,其原因是把活生生的树抽象成静止的死木头了。
再看看只栽一端的说法。只栽一端,植树棵数正好等于间隔数,它看起来很忽悠人,而且计算结果也与“间距中点法”思路得出的相同,其实,它也不靠谱。首先,它是由“加1、减1”的思路得来的,假设两端都要栽而在间隔数上“加1”,而实际只栽一端再减去“1”,抵消以后,植树棵数刚好等于间隔数。其次,只栽一端,那么肯定有一端是栽在端点上,忽视了树木是运动体的特征,或者说,它必定有半棵树栽在不属于规定栽种的地界内,多占了半棵树的地界。再次,另一端栽在何处呢?它肯定栽在距另一个端点刚好一个间距的点位上,很显然,它浪费了半棵树的植树面积。实际上,这种方法是通过一端“强占半棵树”的植树面积,另一端“浪费半棵树”的植树面积,相互抵消之后才出现“植树棵数正好等于间隔数”的结果。
再拿两端都不栽来说吧,它是由“加1、减2”的思路得来的,假设两端都栽而在间隔数上加1,而实际两端都不栽再减去2,抵消以后,植树棵数等于间隔数“减1”。采用这种方法植树,浪费了植树面积。对照“间距中点法”思路求得的植树棵数等于间隔数,而“减1”法思路求得的植树棵数等于间隔数“减1”,这不是明明浪费了“1”棵树的植树面积吗?
当先有树的时候,那么,树与间隔明摆着,从树的视角出发,树的棵数一定比间隔数多“1”。然而,另一种情况的存在使得植树问题与一般间隔问题之间冒出了一堵墙,即当以间隔数为基准的时候,那么,树的棵数就不等于间隔数加“1”了,因为间隔与树之间存在一一对应的关系。还有,数学教材明明规定:一端不栽时,植树棵数等于间隔数;两端都不栽时,植树棵数等于间隔数减1。这充分暴露出现行数学教材中直线植树问题解法的弊端,同样长度的植树段,同样的植树间距长度,却出现三种不同解法与结果。笔者认间隔数“加1”是数树的产物,只要找到树就可以了,与树的死活无关,即使树死了,它的植树点和间隔还存在,况且眼前已是活生生的树,因此,笔者叫它“数树问题”;而后者,“减1”法才是去栽树的,希望每棵树都能成活,要考虑它的生长空间,当端点是池塘、河流及建筑物等因素时,就担心树的成活率了,才叫“植树问题”。
笔者认为,现行数学教材直线植树问题“加1”法及其派生的2种方法,都忽视了树木是生命体的特征,把活生生的树木当做木桩来对待。尽管其派生的两种方法(1端不栽或2端都不栽)已经发现了“加1”法的弊病,然而,并没有采用好药方救治,至少没有治愈,因为还是按照老方法植树,把每一棵树仍植在“端点”上,无非少植了一、二棵树。
为解决“端点”法的弊端,笔者提出“中点”法解决这类问题,即采用“间距中点法”解答直线植树问题,“间距中点法”把树作为动态点来考虑,兼顾了树木的生长空间,确认二分之一间距是树木充足的覆盖半径。“间距中点法”操作方便,只要从该植树段任意一端的第一个间距中点处植下第一棵树,以下依次按间距种植,这样,距另一端的最后一个间距中点处就刚好植完计划所植的树。另一方面,从算理上分析,可以先求出该植树段含有多少个这样的间距,然后在每个间距的中点植树。用这种方法植树,植树棵数正好等于间隔数。采用这种方法植树,无论封闭与非封闭线路,也不必提供什么两端都栽,一端不栽,两端都不栽等题外注释,只要有了植树总长度和间距长度两个数据,就能可靠进行植树计算。公式是:植树总长度÷间距长度=植树棵数(间隔数)。
另一方面,再谈谈点的个数一定比间隔的个数多“1”的说法。
笔者认为这是一个值得深思的问题。前面已经说过,伸出你的小手,摸摸你的五个指头,看看你的指缝,发现指头数比指缝数多“1”,这样的事例在生活中屡见不鲜。然而,笔者认为这是对事物的单方面认知,或者说是单纯地看待问题。就拿手指与它们的指缝之间的关系来说吧,摸摸你的中指,看看它的指缝,发现有2条指缝;看看你的食指、中指和无名指及他们的指缝,发现3个指头4条指缝。因此,指头数一定比指缝数多“1”的说法显得有些忐忑。又如一刀两断,不知这其中的“刀”属于“点”还是“间隔”?如果“刀”归属“点”,那么出现一个点2个间隔;如果“刀”属于“间隔”,那么才2点1间隔。同理,还有“三块板两条缝”等等。树与间隔的关系也一样,对于1棵树来说,它旁边就有2处间隔。
因此,从严格意义上讲,点与间隔是一一对应的关系,点的个数与间隔的个数应该相同。点的个数一定比间隔的个数多“1”,或者,间隔的个数一定比点的个数多“1”的认知都是片见。
点的个数一定比间隔的个数多“1”的观点,或许是直线植树问题“加1”法的理论初衷。
笔者提出“间距中点法”解答直线植树问题,符合树与间隔之间的一一对应关系。把每一棵树栽种在每一个间隔的中点,这样种下的树,假设能够移动,把2端连接起来成为封闭图形的话,不是与圆形的植树公式相一致了吗?
植树问题中树的棵数与其间隔个数完全相同,植树问题是特殊的间隔问题。因此,请不要把插小旗、敲时钟、登楼梯、锯木头、立线杆等这些间隔问题与植树问题混为一谈,更不要把他们归属为植树问题旗下。
(摘自《间距中点法——直线植树问题解法再探析》)

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发表于 2016-8-5 10:55:06 |显示全部楼层
天边的云彩6 发表于 2016-8-5 10:13
哈哈,你终于说出“半棵”来了。
你栽过“半棵”树吗?
看来你没有看过我与高昌民对这一问题的讨论,你是 ...

横空忝1罢了!

点评

高昌民  那些装疯卖傻的胡搅只能让大家看笑话,不起任何他想要的作用。  发表于 2017-9-4 15:21
高昌民  他没有与我“讨论”过问题,从来就是胡搅,没有1条有道理的,所以我不看他的贴子。  发表于 2017-9-4 15:20
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GMT+8, 2017-9-26 01:05

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