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中国现代割圆术

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发表于 2016-11-30 10:44:36 |显示全部楼层
中国现代割圆术公式,由圆内接多边形或圆外切多边形推导,古代用边长求(如倍边公式),现代用角度或弧度求;它包括基础公式和专业公式。

一、基础公式:

⑴ π=180°sinθ∕θ 、
⑵ π=180°tanθ∕θ 、
(θ→0°.θ>0°)
基础公式是圆周率与角度、弧度、三角函数、极限的综合体,最能体现圆周率及其相关性质。
当采用弧度制时,基础公式就变成了现代极限公式:
π=180°sinθ∕θ  →sinθ/θ=1;
π=180°tanθ∕θ →tanθ∕θ=1。

二、专业公式:

⑶π= 2^n√(2-√(2+…√2)…)
⑷π=3×2^n√(2-√(2+…√3)…)
⑸π=2×2^n√(2-√(2+…√2)…)/√(2+√(2+…√2)…)
⑹π=6×2^n√(2-√(2+…√3)…)/√(2+√(2+…√3)…)
(n→∞,根式中有n个2)

专业公式是基础公式的具体化,也是倍边公式的具体化,一般由正四边形或正六边形求得。



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发表于 2016-11-30 10:45:13 |显示全部楼层
割圆术的基础公式是用角度来推导的,当将其改成弧度制时,将会变成大名鼎鼎的极限公式:
在弧度制中,π=180°,所以
π=180°sinθ∕θ变成sinθ/θ=1;
π=180°tanθ∕θ变成tanθ∕θ=1。
割圆术公式本身就是用极限的原理推导的,得到的最终结果其实也是一个极限公式,同理,用弧度制的极限公式也能推导出割圆术的专业公式,只要令θ=π/2或π/4即可。
学过极限的人都知道极限公式,但多数人并不知道它同时也是一个割圆术公式,至此,极限公式从另一个侧面也证明了割圆术公式的正确性。

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发表于 2016-11-30 10:45:41 |显示全部楼层
在割圆术基础公式中,除了用来表示圆周率公式外,还可表示极限公式,还可以表示1弧度公式或1角度公式。
如:将公式π=180°sinθ∕θ变形为
180°∕π=θ∕sinθ (弧度公式)
π∕180°=sinθ∕θ (角度公式)
(θ→0°,θ>0°)
1弧度=180°∕π=θ∕sinθ=57.29577 95131°
1角度=π∕180°=sinθ∕θ=0.01745 32925 rad
从以上的各种变形公式可以看出,割圆术公式跟极限、三角函数、角度、弧度等有着极其密切的关系,而且还给极限、角度、弧度等增加了新的内容,至此,古老的割圆术终于有了一个圆满的结局
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