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一题多解、将无限循环小数化成分数或者整数的有效方法

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发表于 2017-3-31 18:58:30 |显示全部楼层
将无限循环小数化成分数的有效方法
作者:李爱君,单位:山东省东营市河口区孤岛采油厂孤三区。邮码:257200。
一题多解、将无限循环小数化成分数或者整数的有效方法:根据小数与分数的性质、任意无限循环小数均有一个分数与其相互对应,因此,将已知无限循环小数对应着的“未知分数”设为X, 无须用等比数列极限求前n项和的方法,然后求方程的解,答案完全正确:
例一:将无限循环小数0.123()化成分数:
解题:已知无限循环小数:0.123(),将已知无限循环小数0.123()的“未知分数”设为X,∴X=0.123()——1式,(1式)两边同时乘以10得:10X=1.23()——2式,(2式)-(1式)得:9X=1.11,X =1.11/9,
X =0.37/3,X =37/300,∴X=0.123()=37/300,即:0.123()=37/300
    例二:将无限循环小数0.9()化成分数(整数):
解题:已知无限循环小数0.9(•),将已知无限循环小数0.9(•)的“未知分数”设为X,即0.9(•)= X——1式,1式两边同时乘以10得:10X=10(0.9+0.09(•)),10X=9+0.9(•) ——2式,将(2式)中的无限循环小数0.9(•)更换为X得:10X=9+X, 10X-X=9,9X=9,X=9/9,X=1/1,X=1,∴X=0.9(•)=1,即:0.9(•)=1
例三:将无限循环小数0.26(••)化成分数:
解题:已知无限循环小数0.26(••),将已知无限循环小数0.26(••)的“未知分数”设为X
0.26(••) =X——1式,1式两边同时乘以100得:100X=100(0.26+0.0026(••))100X=26+0.26(••)——2式,
将(2式)中的无限循环小数0.26(••)更换为X得:100x=26+X,
100X-X=26,99X=26,X=26/99,∴X=0.26(••)=26/99,即:0.26(••)=26/99
   例四:将无限循环小数0.123(••)化成分数:
解题:已知无限循环小数0.123(••),将已知无限循环小数0.123(••)的“未知分数”设为X
0.123(••)= X ——1式,1式两边同时乘以1000得:1000X=1000(0.123+0.000123(••))1000X=123+0.123(••)——2式,(2式)-(1式)得1000X-X=[123+0.123(••)]-0.123(••), 999 X=123,X=123/999,X=41/333,∴X=0.123(••)=41/333,即:0.123(••)=41/333
   例五:将无限循环小数0.128(••)化成分数:
  解题:已知无限循环小数0.128(••),将已知无限循环小数0.128(••)的“未知分数”设为X,即0. 128(••)= X——1式,1式两边同时乘以1000得:1000X=1000(0.128+0.000128(••))1000X=128+0.128(••)——2式,将(2式)中的无限循环小数0. 128(••)更换为X得:1000X=128+X,1000X-X=128, 999 X=128,X=128/999,
∴X=0.128(••)=128/999即:0.128(••)=128/999
       将其规律归纳如下:通过上述例题证明我们得知:设已知无限循环小数的“未知分数”为X ,而且等式两边同时乘以10、100、1000等等,并非任意的,毫无目的,而是有针对性,需要区别对待,不过恰恰有规律可循,要根据小数循环节的数字来定,如果循环节是1位数字乘以10 ^1,如果循环节是2位数字乘以10^2,如果循环节是3位数字乘以10^3,等等以此类推如果循环节有n个数字需要乘以10^n,目的是为了消除无限循环小数的无限循环节,…;因为无限不循环小数(无理数)无公度比,因此无理数(无限不循环小数)不能化成分数形式、即不能表达为n/m的形式,…。

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发表于 2017-4-23 09:09:42 |显示全部楼层
一题多解,方法要得力!
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