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我终于找到圆柱体从粗糙斜面上自由滚下时滚动的原因了

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发表于 2017-9-13 15:06:33 |显示全部楼层
      讨论争论了8年之久,我也做了很多实验,但就是找不到突破口,好是辛苦和无奈!昨天,终于茅塞顿开,原来,将圆柱体受到的重力和支持面的支持力画在质心(圆心),都认为是共点力,这个不仔细分析对待还真的糊弄了所有的人。
      如图:一般情况下,都如图1这样标示,谁也没有觉得不正确,都习以为常了,认为就应该这样标识。实际上,重力mg的作用点在质心O,支持力N的作用点在柱体边缘与支持面的接触点C处,如图2(应该是共线的,为了便于区分和观察,没有重合)。

            一个生活小常识可以告诉我们,用眼睛看到是放平的桌面,只要放上一个圆柱体或者球,如果滚动,一定不水平,原因就是稍有斜度:支持力N和重力mg不再共线,因此柱体或球就开始滚动。
      斜面上圆柱体的滚动,就是因为二力既不共点也不共线的原因,使重力mg对接触点(瞬心)产生力矩mgRsinθ,从而使柱体滚动起来的。
             解决了这个问题,相关的柱体滚动的静摩擦力方向等等一系列问题将迎刃而解,教科书的相关错误内容必须修改。谢谢我自己。


1、根据刚体定轴转动的转动定理可得G Rsinθ = l β ,代入   I =3mR^2/2,所以β = 2gsinθ/3R ,又因为a=Rβ,质心到点C的距离是R,所以,质心加速度a=2gsinθ/3.
2、用不着静摩擦力参与,刚体自身的规律就能够保证同时完成平动和转动
(1)平动需要的动能是多少呢?根据E=mv^2/2,欲知动能大小,必知v^2。欲知v^2,必知t^2,由S=h/sinθ=at^2/2,可求得t^2=3h/gsin^2θ,所以V^2=4gh/3,所以E=mv^2/2=2mgh/3,即,平动需要的动能是2mgh/3.


(2)转动需要的动能是多少呢?根据E=Iω^2/2,因为I=mR^2/2,ω^2=(βt)^2(刚体的β处处相等),所以E=mR^2/4*(2gsinθ/3R)^2*3h/gsin^2θ=mgh/3.即转动需要的动能是mgh/3【说明:代入的数据均与平动无关】。
平动与转动需要的动能和=2mgh/3+mgh/3=mgh,mgh=mgh,这证明:刚体自身的重力势能刚好满足平动和转动的需要,2mgh/3不是减了静摩擦力做负功后的产物,mgh/3也不是静摩擦力做正功的产物,而是刚体自身规律使然,即【质心加速度a=2gsinθ/3时的必然,柱体滚动的原因有且只有重力力矩产生角加速度这唯一的因素】。何用静摩擦力来减了平动去转动呢?静摩擦力减了平动去转动纯属子虚乌有的事儿!



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发表于 2017-9-14 20:03:41 |显示全部楼层
在二力既不共点也不共线的前提下,谁能给图中mg之外的红色力作用点找到一个合适的位置,使刚体只平动不转动呢?如图

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发表于 2017-9-15 08:37:15 |显示全部楼层
      从2006年开始,我在淄博教育网上发帖讨论、请教《自行车前轮受到的静摩擦力向前还是向后呢》这个问题,因为除了我以外,所有的人都认为是向后的,这都是已经形成普识的小常识。我亲自在摩托车前轮上贴上胶带纸实验,结果是胶带被地面摩擦后,断裂的地方全部向前翻,当然,发在网上讨论,没人相信摩擦力是向前的,找出了各种理由进行否定。我借了老乡的玉米,亲自去石碾上碾,结果看到碾细的玉米面的断层裂纹全部向后,又发在网上讨论,结局与前一样。我到许多学校,专门观察车棚中学士的自行车,发现所有的前轮的气门芯都向后斜;去铺路工地观察压路机压过的路面,路面的痕迹与玉米面的痕迹相同……但是,结局是一样的,没有人相信我的说法。我不死心至今。
      前天晚上,画了一个在水面上漂浮着物体遇到障碍物的图,忽然得到启发,原来,圆柱体的重力和支持力的力的作用点不共点,作用线更不共线,正是因为二力既不共点又不共线的特征,刚体才一定有转动的现象发生。
      苦苦寻觅,猛然发现,此事是这么的简单,但是,这简单的问题却被所有人忽视了。所有的力学教程上都忽视了!
      原理错了,导致推出的理论一起错!

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发表于 2017-9-16 22:16:19 |显示全部楼层
     2、 圆柱体(刚体)在斜面上,支持力与重力既不共点也不共线的特点,也同样适宜于对水平支持面上柱体受力情况的探究,如图。
      在此之前,因为都认为支持力与重力是共点的,所以,当柱体质心受到水平方向拉力F的作用时,很自然地用COF与N1OF为邻边构成平行四边形,形成红蓝两个大小相等的F合,借以证明拉力F不偏不倚,只有水平方向对质心产生平动作用(平动加速度),从而进一步推论,得出“车轮要想转动,必须有支持面的静摩擦力向F的负方向作用。”记得40多年前,物理老师课堂上,就是拿着一个独轮车的教具,用手掌拍它的边缘,它便转动;将小车在桌子上轻轻地猛然一推再抬起,小车也转动。老师演示的、亲眼看到的,这还有假吗?(此受力问题在此先不涉及)与上边的经验结论是相当一致的。


      当发现斜面上支持力与重力既不共点也不共线的特点后,转到水平面上来看,支持力N与重力mg虽共线但还是不共点,代替斜面上重力的是拉力F。在刚体范围内讨论,支持力N与拉力F是不能用平移的方法来求所谓的“合力”的(有人说,求合力可以,但需增加一对力偶,它们是呈垂直方向且作用线过圆心的二力,力偶如何取得呢?)。因此,与拉力F能形成合力的只有共点力mg,它们的合力如红色F合所示。这样一来,F合(红)既能使柱体产生平动,它对瞬心点C的力矩又能使柱体转动。——这才是真相!那些一个人能拉动300吨火车的大力士,那些用肚皮吸碗拉动8吨卡车的大力士,只是比普通人力稍大些罢了,是对车轮运动原理的错误认识成就了他们的辉煌。我敢大胆地说:只要有理想的车轮,只要能合力安排载物的平衡位置,只要有较为理想的支持面,我能用独轮车推动你所想的重量!

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发表于 2017-9-17 22:02:32 |显示全部楼层
3、手拍小车动,如图,小车的重力与支持力共点在O且共线,有且只有手拍边缘的摩擦力及其力矩,所以,只有转动,没有平动。它与在水平支持面上的柱体受力情况明显不同的是,重力与支持力共点共线,只转动不平动。
      在桌面上猛推小车转动。首先的一个被忽视的地方,就是,在接触支持面之前的很大的初速度或者说初平动动能,小车在与支持面接触时,它根本来不及转动而是随着高速平动,但当短暂接触离开支持面的时刻,它仍然受到的是支持面的向后的摩擦力,因此,离开后,就如手拍小车一样的效果了。这个演示实验,乍一看,它接触支持面时的情况与从静止开始运动的车轮受力情况完全一致,殊不知正是之前的高速度在作怪!
      最掩耳盗铃的一个理论是:【支持面的静摩擦力,把平动动能的三分之一转化成了转动动能,但静摩擦力对小车的总功为0 】。假如小车的质量是0.1kg,初速度是30m/s,那么,接触支持面时的平动动能是45J。再假如此刻放手,那么,静摩擦力将15J的平动动能转化成了转动动能,小车便在支持面上滚动了起来,永动机这不就成功了吗?从刚体平面运动的动能公式EK=mV^2/2 +Iω^2/2看,刚体自身的规律就是总动能等于三分之二的平动动能与三分之一的转动动能之和,哪里有静摩擦力的份儿?!自欺欺人罢了!

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发表于 2017-9-18 15:07:01 |显示全部楼层
      4、漆安慎、杜婵英《普通物理学教程.力学》第223页§7.6刚体的平衡(一)刚体的平衡方程中有这样的论述:若刚体静止,首先外力矢量和为零:∑Fi=0;否则,质心将产生加速度。其次,刚体静止时,任何轴均可视作“固定轴”。根据转动定理,各力对该轴的力矩和为零:∑Miz=0。所以∑Fi=0和对任意轴∑Miz=0是刚体平衡的充要条件。即:若诸力作用于同一平面内,刚体受力矢量和为零,对与力作用平面垂直的任意轴的力矩代数和为零,是刚体能够保持平衡的充分必要条件。
      这段话有三层意思:1、∑Fi≠0时,质心将产生加速度。2、对任意轴∑Miz≠0时,刚体将产生角加速度。3、任何轴均可视作“固定轴”,这与“基点”的选择是任意的一致。
      那么,如图,在粗糙斜面上的圆柱体(刚体,柱体边缘点C刚好与支持面相接处),当拉力T=mg时,柱体处于静止状态,以O为定轴分析,mg与T合力为零,合力矩为零,支持力N=0,所以,柱体处于平衡静止状态。当以点C为定轴时分析,T与mg的力臂都是CA,同样符合刚体平衡的充要条件。当mg-T>0时,合力(mg–T)将使质心O向下平动,合力矩(mg-T)*CA将使柱体绕点C转动,此时,N=(mg-T)cosθ。进一步地推论,当剪刀剪断吊绳时,mg-T=mg,合力mg将使质心O向下平动,合力矩mg*CA=mgrsinθ将使柱体绕点C转动,此时,N=mgcosθ。
      关于点C,需要补充说明一下:它受到支持力N和柱体分力mgcosθ的“挤压”(没有更合适的词,权且用之),犹如被钉子钉着,具备作为“支点”的条件,也就是说的“瞬心”。

下边演算一下是否是点C处受到的静摩擦力使柱体转动的——
    (1)根据平行轴定理,知道以点C为瞬心时的转动惯量为I=3mr^2/2.
      (2)根据刚体定轴转动的转动定理,可得:mg rsinθ=Iβ,求得β=2gsinθ/(3r).
      (3)由于刚体各质点角加速度β是相等的,所以,对以下的计算没有影响。
    (4)根据刚体定轴转动的动能定理,可得转动动能E转=Iω^2/2,因为V=ωr,所以,E转=mr^2/2*ω^2/2=mV^2/4.当斜面高度为h时,计算V^2=4gh/3,代入上等式,E转=mgh/3.这就是从斜面上无滑滚下时柱体所需的转动动能。
    (5)质心平动动能E平= mV^2/2=2mgh/3。这就是从斜面上无滑滚下时柱体所需的平动动能。
   (6)E平+E转=2 mgh/3+mgh/3= mgh,E平:E转=2:1.刚体平面运动的动能公式E= mV^2/2+ Iω^2/2= mgh.
     (7)质心加速度a=rβ=r2gsinθ/(3r)= 2gsinθ/3,不用摩擦力就很容易求得。
   (8)由右手定则,可以判定:柱体是顺时针转动的,那么,静摩擦力方向就是沿斜面向下的。它起的作用,就是阻止瞬心的向上滑动,保证了柱体的无滑滚动。

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发表于 7 天前 |显示全部楼层
      抽象成杠杆,利用杠杆原理,照样能得出刚体绕瞬心点C转动的结论。如图,因为根据已知条件,可以求出两个圆缺(实际上是圆缺体)的缺心A与D的位置和圆缺重量,因为G1*DB>G2*AB,所以,杆AD绕支点B转动,也即绕点C转动。

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发表于 5 天前 |显示全部楼层
5、这算是数学游戏还是文字游戏呢?看看它究竟能说明什么问题。

如图,质量是1kg的匀质圆柱体(刚体)在粗糙水平面上受到水平方向9N的拉力,求:①质心加速度a②求粗糙平面作用于柱体的摩擦力f③求10s时的位移④各力做功和柱体的平动动能、转动动能及总动能⑤当10s时刻后撤销拉力,求摩擦力做功情况
解:根据质心运动定理,可得投影方程  9–f = ma……(1)
根据对质心轴的转动定理,可得fR=Iβ=βmR^²/2……(2)
因为柱体作无滑滚动时,有a=Rβ……(3)
联立三个方程,得①质心加速度a=6m/s^²
                ②粗糙平面作用于柱体的摩擦力f=3N
③10s时的位移S=6×10^²/2=300m
④各力做功和柱体的平动动能、转动动能及总动能
拉力做功W1=9×300=2700J
摩擦力平动做功W2=-3×300=-900J,同时,摩擦力转化成转动动能E1=900J
合力做功(平动动能)W3=E2=6×300=1800J
总动能E总=E1+E2=900+1800=2700J
评语:摩擦力功劳不小,将平动动能转化成了转动动能,将功补过,总体没做功。牢骚:解题到此,谁也相信这是正确的。
⑤当10s时刻后撤销拉力,求摩擦力做功情况(说心里话,往下不大会也不敢算了,恐怕出错,只好硬头皮试试了)
一、先求一下加速度a1.由f=ma得a1=3 m/s^²;由fR=Iβ=βmR^²/2和a=Rβ,得a1=6 m/s^²。a1≠a1,但愿是我算错了!
二、算一下还能运动多远吧:根据V=at,S=V0t-at^²/2,可得S2=600m;根据摩擦力减小平动动能的理论,E2-fS=0,可得S2=600m,结果一样,祝贺。
三、根据摩擦力将平动动能转化成转动动能的理论,转动动能应该是900+1800=2700J。
疑惑:运动到600米后,柱体是否开始腾空转动了?这个明显的悖论结局,不能证明静摩擦力向后且使刚体产生转动动能的理论是错误的吗?

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发表于 5 天前 |显示全部楼层
6、荒唐的推论

如图。传统理论列式:假设静摩擦力f方向向下,则有
F-m gsinθ-f=ma……①  
FX+fR=Iβ=βmR^²/2……②
a=Rβ……③
联立三个方程,求得f=[F(R-2x)- m gsinθR]/3R……④

          如果一味地玩字母游戏,很难看到真相,下边,我给予字母具体的数字,然后求静摩擦力大小。(以下都是标准单位,省略不写)令R=0.2,x=0.1,mg=12,θ=30代入④得:f=[F(0.2-2x0.1)- 12X0.5x0.2]/3x0.2=-2,即静摩擦力方向向上而不向下。

        再假设是处于平衡静止状态,可得:F+f=6,由杠杆平衡可得F=2f,即F=4 ,f=2,方向都向上,至此,可以说:静摩擦力最小是2,方向必须向上。
     总之,向上的静摩擦力f至少能够达到平衡静止状态时的要求,当拉力继续增大时,关系式是f=Fx/R(x不能等于0),静摩擦力最大等于其最大值,否则,将不能实现无滑滚动。而回过头去看上边的计算,当x=0.1时代入f=[F(R-2x)- m gsinθR]/3R中,竟然与拉力F无关,这是极其错误的,在本特例中,F最小等于4。错误的根源是(R-2x),最终的根源是F-m gsinθ-f=ma……①  和FX+fR=Iβ=βmR^²/2……②

        滚动中有平动,但,方向平行的力是不能计算代数和的,这种F-m gsinθ-f=ma列式是错误的,只有F作用在质心时,方能列F- m gsinθ=3ma/2求加速度,f永远与2(F- m gsinθ]/3m逆向,当有拉力存在时,它只起阻止滑动的作用又不参与平动,一旦拉力消失,它便只阻碍转动。

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发表于 5 天前 |显示全部楼层
7、关于刚体滚动的相关公式:
(1)刚体定轴转动的转动定理:∑M =Iβ(瞬心轴I=3 mR^²/2,a=rβ)
(2)质心共点力:∑F=3 ma/2(自造)
(3)静摩擦力f= ma/2(自造)
(4)平面运动的动能定理:E= mV^²/2+ Iω^²/2
E平= mV^²/2   ,   E转= Iω^²/2
有这些,计算刚体平面运动需要的公式基本就足够了!

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发表于 4 天前 |显示全部楼层
8、点评一道常用的习题
例题4,一质量为m,半径为R的均质圆柱,在水平拉力F作用下,在粗糙水平面上做纯滚动,力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为X.求质心的加速度与圆柱所受到的静摩擦力。
解:设静摩擦力f的方向,如图所示,

则由质心运动方程
                       F-f=ma
圆柱对质心的转动定律
                       FX+fR=Iβ
    纯滚动条件
              a=Rβ
     圆柱对质心的转动惯量
                       I=βmR^²/2
联立以上四个个方程,得
                   a=2F(R+X)/3mR
                   f=F(R-2X)/3R

由此可见
    当X小于R/2时,f大于0,静摩擦力向后
         当X大于R/2时,f小于0,静摩擦力向前(本是大小于符号的,发不上来)
         当X=R/2时,f=0,无静摩擦力
评语:静摩擦力f的大小和“由此可见”是万分错误的!
错误的根源
      一是列式F-f=ma错误,在这里,生搬硬套了质心运动定理,对刚体来说,不共点的力是不能随便合成的,本例中的拉力与静摩擦力不共点,岂能合成呢?教程上使用了投影,这实在是掩耳盗铃的一种做法:投影没有了力臂,掩盖了真相!
      二是“由此可见”的三条根本不成立!说多了也没用,只看加速度a=2F(R+X)/3mR,其中的X的取值范围应该是0≤X≤R,那么,a的取值范围就是大于等于2F/3m小于等于4F/3m,它无论数值有多小,但总是正值,再无论静摩擦力方向向哪,会出现摇摆不定的方向吗?会出现“无静摩擦力”的情况吗?不会!f=F(R-2X)/3R是用F-f=ma与FX+fR=Iβ推出的,这里是先确定了“向左”后列出的方程,如果有“当X大于R/2时,f小于0,静摩擦力向前,当X=R/2时,f=0,无静摩擦力”情况真实存在,那么,F-f=ma与FX+fR=Iβ就要相应的变成[F+f=ma与FX-fR=Iβ]和[F=ma与FX=Iβ],试问:这两组方程还能解出f=F(R-2X)/3R吗?自相矛盾很严重!
      其三,刚体的基点是可以任意选定的,很多人也认可瞬心作为基点的,此时,F的力矩F(R+X)方向垂直纸面向内,柱体顺时针转动,作为瞬心,其顺时针转动趋势明显,这支持面的静摩擦力若真的撑得起自己的阻碍作用,它能不逆向吗?因此,柱体受到的静摩擦力只有一个方向:如图向右!


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发表于 前天 22:07 |显示全部楼层
9、讨论一下滑移、力偶和力偶矩
滑移:作用于刚体的力可沿作用线滑移而不改变其效果,即作用于刚体的力是滑移矢量。力有三要素:大小、方向和作用点,而对于刚体,力固然有其作用点,但力可以滑移,力的作用点不再是决定力的效果的重要因素,可以说,作用于刚体的力的三要素是大小、方向和作用线。
点评:这个滑移不是普适的,有两个特殊的力是不能滑移的,即:重力和支持面的支持力。倘若支持力能被滑移,当它滑移到质心时,与重力便形成了共点力,实际上,一直以来,人们受滑移理论的影响,都很自然地接受了支持力与重力是共点力的观点,其带来的最大后果就是掩盖了“重力与作用于重心的外力能形成合力而实际上支持力不能与外力形成合力”的真相,以致于出现了“水平方向拉力对刚体只具有向前加速平动的运动趋势”的错误印象,这个错误印象直接影响到对刚体运动实质的正确判断,这一观点在前2中已经谈过。重力滑移纯粹是自找麻烦,不再赘述。
力偶和力偶矩:(忽略定义)作用于刚体的力等效于一作用线通过质心的力和一力偶,这力的方向和大小与原力相同,而力偶的力偶矩等于原力对质心轴的力矩。
点评: 如图 ,图1,力F作用点在A,在质心O添加一对等大反向的力F1’和F1”,F1与F1’形成一对力偶使刚体产生角加速度,F1”对质心产生加速度。这个做法,看似很合理,因为增加的一对力等大反向,相当于没有增加,就如F1+0=F1一样大小,这个数字游戏很具迷惑性——因为F1”作用于质心,因此,根据牛顿第二定律,可得F1”=ma,得质心加速度a1=F1”/m=F1/m。至此,没有人怀疑其正确性,可接着算下去就大不同了:由圆柱对质心的转动定律F1h1=Iβ
    纯滚动条件a=Rβ
    圆柱对质心的转动惯量I=βmR^²/2
    联立以上三个方程,得 a2=2F1h1/mR
    比较一下a1与a2的大小:a1-a2= F1/m-2F1h1/mR=F1(R-2h1)/mR。由此可得出结论:当且仅当h1=R/2时,两次求得的加速度才相等,所以,这种增加一对等大反向力的做法已经不再是铁律了!

       如图2:等大的力F1与F2分别作用在A和C两点,用上边同样方法增加一对等大反向的力,F1”与F2”共点在质心O,等大反向,那么,质心合力为0,即F1”-F2”=ma,ma=0,a1=0.但用圆柱对质心的转动定律求,则得: a2=2(F1h1+F2h2)/mR,不用继续比较两次加速度的大小了。
感言:用字母代替数字,有很多的普适和便利,但是,如果不回头去推敲,往往出现自相矛盾的现象。

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发表于 昨天 20:19 |显示全部楼层
10、讨论一下静摩擦力
(1)静摩擦力定义:一个物体在另一个物体表面上有相对运动趋势时所受到的另一个物体对它的阻碍作用。
(2)产生条件:①直接接触且挤压(即相互间有弹力);②接触面粗糙;③有相对运动趋势;④两物体相对静止。
(3)方向:静摩擦的方向总是沿着接触面,但当接触面是曲面时,跟接触面相切,并且跟物体相对运动趋势方向相反。所谓的相对,是以施加摩擦力的施力物体为参考系的。
两物体间出现静摩擦力作用时,两物体是相对静止的,但它们相对别的参考系可能是运动的,而且速度相同。
(4)圆柱体(刚体)的支持面是不会自己运动的,既然“产生条件”中有【④两物体相对静止】,那么,静摩擦力是如何使柱体滚动起来的?支持面不是传送带!是谁第一个造的这个谣?弥天大谎被老教师传给了新学生!

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