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- 更新时间: 2007-11-03
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预习重要还是复习重要？
2007-11-03
学习方法的好坏并不是绝对的，主要看是否与自己的学习风格相匹配。而学习风格与每个人的记忆、思维等心理品质相关。
不同的思维品质，不同的学习风格，预习效果不同。
从思维的敏捷度、深刻度可以分为四类：
（1）即敏捷又深刻、（2）不敏捷较深刻、（3）较敏捷不深刻、（4）不敏捷不深刻
（1）类可按习惯决定是否预习复习；（2）类预习的重要性胜于复习；（3）复习的重要性胜于预习；（4）预习复习都必要做好
这只是个人的猜想，有待实证。个人认为：教师不能仅从个人的学习经验来指导学生，也许学生的学习风格与老师属于不同的两种类型。 -
解题铭（原创第四稿）
2007-11-03
题不在多，有悟则明；
问不在难，有得则灵。
斯为解题，唯思者倾。
快须定理熟，对要概念清；
勤练出巧思，浓趣驱惰性。
数式图表，可以通九章，达原本。
轻定义则涩思，疏符号则难行。
入微有数量，直观靠图形，
孔子曰：言慎事敏。 -
“期望”为什么不叫平均值却要叫期望呢？
2007-11-03
问：“期望”为什么不叫平均值却要叫期望呢？
答：我个人的理解是：平均数是通过对真实数据的统计计算值，比如某次考试以后计算的平均值；期望是对尚未发生的随机事件中数据的估计，比如，对某次投资的获利估计就是所谓的“期望值”。
问：嗯，有一定道理。但是为什么期望是指预测的平均数呢？平均数就是人们所期望的吗？
答：期望是一个理论数，平均是一个实际数。
据一个例子：在一次赌博中，你蠃的概率是0.3，输的概率是0.7，但如果你蠃的话可获200元，输的话赔100元，你在这个赌局中的期望获利是：0.3×200＋0.7×（－100）＝－10（元）
这并不是说，参加赌局的人主观上希望每次输掉10元（没有这样的傻瓜），但希望通过这样的赌局蠃钱只是不懂数学的人一厢情愿，懂数学的人知道：如果我反复多次参加这样的赌局，我每一局获利的平均数接近－10元（期望被通俗地解释为平均数，就是这个道理）。而且次数越多越接近。因此，个人理解所谓“期望”，应该是理论上的“合理期望”，不是人的主观上的期望。“我期望每次输10元”比较符合实际，所以比较合理。当然，并不是说每局必定输10元，事实上，孤立地看每局，要么蠃200元，要么输100元，不可能输10元。很多人正是因为只是孤立地看每一局上的得失才会上这个赌局的当。
反过来，摆这个赌局的人，期望通过这个赌局平均每局赚10元，这才是他真正的期望！而事实上他通过这个赌局所赚的钱平均起来也未必刚好这个数（这大概就是期望不叫平均数的原因吧？），如果他没有碰到警察干扰，经过很多次的赌局后，他每局平均所赚的钱肯定接近10元这个数，而且在总体上来说次数越多越接近。反馈：
之一：我也曾经有过类似的疑惑，现在敞亮了。谢谢各位的解答。
之二：田雨老师真是太厉害了,把我等心中多年的疑惑一扫而空,有田雨老师在,实乃我等数学老师的幸运 -
最小的一位数是0还是1？
2007-11-03
虽然这个问题在小学阶段是一个很无聊的问题，但笔者在网上的几个数学论坛上常常遇到有小学老师问及这个问题。据说还有的地方用这个问题考小学生，笔者认为这是很不应该的。所谓“无知者无畏”，出这类考题的老师显然不清楚这个问题的复杂性。这说明对于小学数学老师来说，弄清这个问题还是有必要的。至少可以让小学老师清楚地认识到我们不应该用这类问题考小学生。
下面就这个问题的相关问题进行一些讨论：
其实，要弄清这个问题，只需要弄清“0是几位数？”这个问题。而这又是与“位数概念的推广”这个问题相关，因为一般人们讨论“位数”一词总是在“正整数”范围内讨论的，而把这个问题与“0”牵扯起来，据说是因为“0是自然数的规定”。那么如何把“正整数的位数”概念推广到一般呢？这首先要对“位数”这个概念的本质属性作一番研究。
1．一个数的“位数”是与“进位制”相关的，是这个数的形式属性，而不是这个数的本质属性。在10进制中数8是一个一位数，而在二进制中就写成了(100)2，是一个三位数。可见我们通常所说的“8是一个一位数”这句话只是刻划了在10进制下8这个数的一种形式。
2．一个正整数的“位数”所蕰含的本质属性是“大小关系”。在同一进位制中，位数高的数比位数低的数大。一般地，在10进制中，如果数x是一个n位数，那么：
10^(n-1)≤x＜10^n。
按照这种理解，我们可以把“正整数的位数”这个概念推广到任意“正实数的位数”（张景中院士在《数学家的眼光》一书中就采用这种说法）：
如果一个正实数满足10^(n-1)≤x＜10^n，我们称这个实数是n位数。
比如，10^2 ≤425.23＜10^3，所以425.23是一个3位数；
又如10^(-3)≤0.0076＜10^(-2)，所以0.0076是一个-2位数。
这种说法与所谓的“科学计数法”相关，任何一个正实数都可以记作
a×10^n（1 ≤a＜10）
但这个方案还是无法回答“0是几位数”这个问题。因为它只是把“位数”这个概念推广到“正实数”。但是，如果我们把0看成正实数的“极限”，就有
0＝a×10^(-∞-1)（1≤a＜10）。
因此，我们可以说：“0的位数是负无穷大！”
这种规定显然不能在小学中说清楚。当然我们也可以采用一种小学生能理解的推广方案（但这种方案我没有在任何文献中看到过）：
一个正整数前面任意添加一些0，这个正整数的大小不会发生变化，所以我们可以理解为每一个正整数前面都有无穷多个0（在实际计数时我们把这些0省略掉了）。那么，一个正整数的位数可以这样来规定：一个正整数前面第一个非零数及其后面共有几位数，我们就称这个正整数为几位数。
按照这种规定，0是一个0位数。
其实，以上讨论是很无聊的，原因只有一个，这个问题本身就是一个无聊的问题！我写下这些东西，目的只有一个：把这个问题的“无聊”属性显化出来，让大家都能了解！请小学的数学老师再也不要在这个无聊的问题上浪费时间了。如果能起到这个作用，我想上面的讨论也就不仅仅是“无聊”了。就算是“牺牲我一个，幸福千万家”吧！
再“无聊”，也应该作个小结：“0是几位数”这个问题答案并不唯一，而且每一种答案都并不完美。怎么办？“快刀斩乱麻”——回避！规定“位数问题只在正整数范围内讨论”。于是，本文标题的问题答案是：“最小的一位数是1”。
再说一句：拜托，再也不要用这种问题考小学生了！与其用这种问题折腾，还不如让他们多做些游戏！ -
关于“兆”字的含义（仅凭个人记忆，没有查证资料，欢迎指正）
2007-11-03
人类大脑在进化过程中产生了一个弱点，这就是对大数的直觉常常会出错（据说这个弱点在人类的进化过程中是有积极意义的，具体的缘由我忘记了）。例如：将一张纸对折30次后，没有经过认真计算的人几乎没有人会相信其厚度将高于珠穆拉玛峰！在对大数的表示法上，中国传统与西方传统并不一致。
在中国传统的十进制系统中，对大数的表示是以万为单位递进的，而这种递进也有两种不同方式，一种是在位数上按算术级数递进，也就是“万万为亿，万亿为兆”，另一种是在位数上按几何级数递进，即“万万为亿，亿亿为兆”。也就是说，在中国古代历史上，“兆”字的含义有两种，一种是指“一万亿”即10后面12个0，另一种是“一亿亿”，即1后面16个0。无论哪一种理解，“兆”在数量级上高于“亿”是肯定的。另外，顺便提一句，从表示法的效率来看，后一种更科学，因为这种方案可以用较少的词汇表达更大的数。
在西方的十进制计数系统中，对大数的表示是以千为单位递进的，一千为“1K”，一千个一千为“1M”，一千个M为“1G”，一千个G为“1T”等等（现在电脑技术参数中的存储量，就是按这一计数系统表示的，但由于存储量以2进制递进，所以这里的1K只是一个近似值，精确值为1024，即2的10次方）。显然西方这个系统在表达大数时，需要的词汇量比中国的传统系统更多一些。
由于中国近代的科技落后，科技论文要获得同行认可就必须按西方的习惯表示大数。所以，在制定国家标准时，规定西方的这套计数系统为国家标准。（美其名曰“与国际接轨”，实际上就是“技不如人”，只好听从人家的。如果中国的科技足够强大，国外的学术论文要获得中国学者的认可才行，估计研究生考试也没有必要考英语了）
谁听谁的不是谁说了算，而是客观条件决定的，这也没有什么可讨论的。但在对“一千个一千，即1M”的翻译上，一个偶然的错误，打乱了中国原有的数量级体系。这就是将“1M”翻译为“1兆”，这样“兆”就变成了一个在数量级上低于亿的“数量词头”。
总之，汉语中的“兆”原本的字义就不明确，但至少在数量级上的次序还是明确的。但当“兆”字在翻译中被借用来表达西方系统中的“1M”时，“兆”的词义彻底打乱了！它变成了一个在数量级上低于“亿”的字头！在制定国家标准时首要考虑的当然是便于科技交流，于是将这一偶然的翻译错误（至少是一次失误）以国家法律形式给予肯定，从此，这个问题的对错就不必再争论了，剩下的只是“合法不合法”的问题了。就象无论0算自然数是不是足够“自然”，数学教师必须“依法”告诉小学生“0是自然数”。 -
学生的一篇数学小作文
2007-11-03
利用放假，让学生写一篇数学小作文，描述印象深刻的数学课，好的坏的都行，字数不限。很多同学谈到了这个赠书奖励的事，这是其中的一篇：
对于数学课，一直以来，自己也是抱着不喜欢的态度，从初中开始就是这样，也不知道为什么，反正就是有种讨厌的感觉，更因为在这么多门课中，数学成绩一直不是那么理想，而越是这样，自己心里就越不喜欢了。
上了高中以后虽然没有说已经爱上数学，但渐渐地，也在改变对数学的态度。
成绩依旧是不可观的。期中考试的失败，至今还在脑海中浮现，但是打那以后，我对数学课堂的表现却有所不同了，不再像以前那样，因为讨厌而不听讲，因为不喜欢而管自己做事情。更多的是，我学会了如何去聆听老师所讲的内容，学会了该如何去思考课堂上的每一道题目。虽然有时会跟不上老师的步调，但我还是会把题目记录下来，然后在下课时，与同桌讨论讨论。
改变了态度，我也就在数学上花了功夫，也逐步对其产生了兴趣，哪怕有时还会因为做不出题目而懊恼，但都是暂时性的了。
在这方面，其实数学老师的功劳真的挻大的。在课堂上，我们总能听到他给我们讲的课外知识。龚老师在讲课的时候，讲着讲着就会扯远了，从一个数学小问题引发到人生哲理，做人的道理等等。有时还会给我们讲起故事，甚至从一道题目跳跃到另一道题目。这真得十分有趣。而这也是抓住我们同学注意力的关键。如果只是一味讲书本上的课程，那么我们一定会心力交瘁，没有心思听课。而如果在这其间能够穿插那么一些奇闻趣事，那么我们便会倍感兴趣，从而课堂效率也提高了。
要说这还是一个方面，龚老师与其他老师不一样，他还实施赠书活动。对于成绩好的或者有进步的同学会赠以书，心里真得特别的开心。因为长那么大，还没有一次是因为数学而得到奖励的呢！所以啊，印象也就特别深刻了呢！
如果说要记起发生在课堂上的全部事情，那我还真记不起来。但这两事儿，我却记忆犹新，龚老师说“数学好玩”，现在想来，还真是别有一番情趣呢！
这篇作文口语化的句子比较多，显然是想到哪里写到哪里，不像语文作文那样谋局布篇。但这样反而比较真实。 -
数学学习金典
2007-11-03
1. 把数学当成一门语言学习，学会每一个术语的用法，熟悉每一个符号的意义。
2. 看《数学形成思想》，不要看《数学变成死相》。
3. 看《数学中的语言》和《数学中的模式（题型）》。
4. 不要放过任何一道看上去很简单的例题——他们往往并不那么简单，或者可以引伸出很多知识点。
5. 会用数学公式，并不说明你会数学。
6. 如果不是天才的话，想学数学就不要想玩游戏——你以为你做到了，其实你的数学水平并没有和你通关的能力一起变高——其实可以时刻记住：学数学是你玩“生活”这个大游戏玩的更好！
7. 浮躁的人容易说：学数学没有用，应该学一些有用的；——是你自己没用了吧！？
8. 浮躁的人容易问：我到底该怎么学；——别问，学就对了。
9. 浮躁的人容易问：上课到底把老师的板书记下来好还是跟着老师的思维不记笔记好？——告诉你吧，都好——只要你学就行。
10. 浮躁的人分两种：a)只观望而不学的人；b)只学而不坚持的人。
11. 请不要做浮躁的人。
12. 把新奇的解题方法挂在嘴边，还不如把常规的解题方法记在心里。
13. 数学不仅仅是解题。
14. 学习解题的最好方法之一就是研究例题。
15. 在任何时刻都不要认为自己解过的题已经足够多了。
16. 请阅读《数学教材》，掌握数学的标准用语。
17. 看得懂的例题，请仔细看；看不懂的例题，请硬着头皮看。
18. 别指望看第一遍书就能记住和掌握什么——请看第二遍、第三遍。
19. 不要停留在基本题型这个摇篮上，要学会把基本题型当成零件“组装”出来的综合题。
20. 不要因为数学中的一些词语与自然语言中的词语看上去相同，就认为它们的意义完全一样。
21. 学习数学的秘诀是：解题，解题，再解题。
22. 记住：数学中的概念、对象不只是数学专有的，在其它学科中不要忘了“用数学”。
23. 请把书上的例题亲自做一遍。
24. 请找一些习题，把在书上学到的解题方法用上去！
25. 请重视解题中的细节错误，并在考试前提醒自己。
26. 经常回顾自己以前解过的题，并尝试新的解法，把学到的新知识运用进去。
27. 不要漏掉书中任何一个练习题——请全部做完并记录下解题思路。
28. 当你在一个解题思路上完成一半却发现自己的方法很拙劣时，请不要马上丢弃，至少要在用新的更好的方法解完题之后，回过来重新分析一下前面的思路。
29. 决不要因为题目“很小”就不遵循某些你不熟练的解题规范——好习惯是培养出来的，而不是一次记住的。
30. 每学到一个数学难点的时候，尝试着对别人讲解这个知识点并让他理解——你能讲清楚才说明你真的理解了。
31. 保存好你解过的所有习题——那是你最好的积累之一。
32. 请热爱数学
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用数学的集合语言分析“白马非马”有感
2007-11-03
用数学的集合语言来说，“白马非马”至少有以下几种解释：
（1）集合｛白马｝不是集合｛马｝的元素；
（2）元素“白马”（某一匹白色的马）不等于集合｛马｝；
（3）集合｛白马｝不等于集合｛马｝；
（4）元素“白马”（某一匹白色的马）不是集合的元素。其中除了最后一种解释是假命题，前面三种都是真命题。
语句不等于命题，尽管所有命题都需要由语句来表达。语句是表达命题的语言形式，命题是语句所要表达的内容。但在日常的自然语言中，一个语句常常会产生歧义，也就是同一个语句可以表达不同的命题。就象同一句“白马非马”至少可以表达以上四种不同的命题。在这数学中是不允许的，所以，研究数学必须运用规范的数学语言（否则轻则给研究带来很多不必要的麻烦，重则可能会使研究根本无法正常进行）。
由此可知，“白马非马”这句话的对错争论，实际上并不是一个命题的真假问题，其前置条件是明确这个语句表达了怎样一个命题。数学为什么选择集合语言来表达对象和对象之间的关系，从这个例子中我们也可以有所体会。
中学阶段的数学为照顾学生的理解能力，不可能完全使用规范的数学语言，常常是日常用语与规范的数学语言混合使用。因此，在教学中教师对语言的敏感性就显得比较重要了，对使用日常用语（或者与规范的数学语言混合使用）时，如果没有意识到这些日常语言的局限性，就很有可能钻牛角尖。在没有弄清一个语句所表达的命题是什么时，讨论其真假是没有多少意义的。 -
答网友：“有意义”与“定义域”有什么区别？
2007-11-03
一、概念的说明
1、什么叫“有意义”？
虽然这个词在数学中经常出现，但很多人对此理解并不深刻。原因是没有将数学看成一种语言，数学首先是一种语言。如果从语言角度来分析，我们很容易比较深刻地理解了：每一个数学表达式就是一种语汇（语句或者词汇）。既然是语汇，最为基本的问题就是语汇能不能表达某种意义，这就是所谓的“有没有意义”。
在数学中，常见的没有意义的语汇（数学表达式）有以下几种：
（1）不合语法（常发生在初学者身上）。例如：“集合{1,2,x|3=x+1}”，我们也无法知晓这个集合是什么（除了没有掌握集合语言的学生，正常的搞数学的人不会使用这类表达式）。这是一个无意义的语汇。再举一个日常语言的例子对照以帮助理解：“不我很的有”，我们无法知晓这句话要表达什么（除了刚说学话的小孩没有正常人是这么说话的）。
（2）不存在的对象。例如：“lg0”（不多解释了）
（3）无法确定的对象。例如：“0/0”
（4）有矛盾的。例如：“3＝x＜1”。随便说一句，由于“x∈Φ”也是一个矛盾的表达式，所以有人认为它没有意义。
（5）自变量超出函数定义域。
（6）为方便研究而作的一些特殊规定。
2、什么是定义域？定义域是在定义一个函数时规定了的自变量x的取值范围。这里请注意体会“定义”这个词，他包含着一种人为的意思在里面。
二、两者的区别：
1、使用场合不完全相同：有意义是针对数学表达式而言的；定义域是针对函数而言的。（函数不一定可以用一个数学表达式来表示）
2、函数表达式无意义不一定都是由于自变量超出定义域所致，例如，当a=-2时，函数“f(x)=a^x”也是一个无意义的表达式。
3、如果函数是用一个代数表达式定义的，并规定了定义域，那么当x超出定义域时，并不意味着这个代数表达式无意义。例如：定义函数f(x)=x^2(x<0)，那么当x=1时，f(x)无意义，这并不意味着表达式“x^2”无意义。
三、两者的联系：
1、当自变量超出函数f(x)定义域时，包含f(x)的表达式无意义。例如：已知函数f(x)由下表定义：
x 1 4 6 8 9
f(x) 2 3 6 3 0
那么表达式“3＋2f(0)”没有意义；
2、如果函数由代数表达式表示，那么定义域是肯定这个代数表达有意义的取值范围的一个子集；
3、为方便交流，在没有特别说明时，我们规定函数定义域是“使这个代数表达式有意义的全体实数”。 -
二分法一节提到的精确度怎么解释？
2007-11-03
有网友问一个高中课课程教材数学必修1模块中的问题：最近讲高一新教材中二分法，当中“精确度”一词可解释为区间长度，可是“精确度”和“精确到”怎么讲能说得清？
我的回复：
“精确度为a”的含义是：“近似值与精确值之差（即误差）不大于a”。这个意义在二分法中也同样适合。
举个例子容易说清楚：设a的精确值为1.21456，用四舍五入的方式取其精确度为0.1的近似值为1.2，在这种规则下，近似值1.2的含义是指精确值在区间[1.15，1.25)内，这可以保证近似值与精确值之差（即误差）不大于0.1；在二分法中，如果我们已经把可能取值的区间缩小到了(1.13，1.22)，此时区间长度为0.09<0.1，所以，在此区间内任意取一个值作为近似值，均可保证误差不大于0.1（事实上误差不大于0.9），比如取1.14为近似值，它与精确值之间的误差为0.0745126，但如果对这个1.14再进一步作四舍五入处理得1.1那么其误差就会超出0.1（误差为0.11456）。在这个例子中，按我们以往的习惯把“精确到0.1”理解为精确到小数点十分位作有效数字，那么(1.13，1.22)还不够小，因为小数点十分位的有效数字是1还是2我们还无法确定。如果一定要按习惯保留到小数点十分位，还得再作一次二分区间。但在“精确度为0.1”的条件下，这是没有必要的，只是我们不能按习惯再作四舍五入。
在此产生疑惑的原因是：对以往近似计算的规则只从操作层面理解，没有在理论的、实质性的层面上进行追问所致。数学素质教育与应试教育的区别也可以从这个简单的例子中进行对比。（只完成操作层面的理解并不影响相应的应试分数，但会影响对产生新情况下的相关问题的理解）