[这个贴子最后由ice7733在 2004/12/04 09:11am 第 1 次编辑] 已解决的问题 1.用三个颜色给n个扇形涂色，要求相临区域不同色，n个扇形合起来恰好构成一个圆。 令表示ai个i扇形的涂色方法，i=2,3,4,...... 答:a(n)=2^n+2^(-1)(n>=3) 2.七个数排成一列，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且奇数项的和比欧数项的积大42，首尾两项与中间两项和为27，求中间项。 答:中间项是第四项，2（a1+a7）-（a2*a4*a6）=42，a1+a7+a4=27，利用a2*a6=a4的平方，化为关于a4的二次方程即可。 3.设数列{a(n)}的首项a1=1，前n项和S(n)满足关系试： 3*t*S(n)-(2t+3)*S(n-1)=3*t (t>0,n=2,3,4,……） (1)求证：数列{a(n)}是等比数列； （2）设数列{a(n)}的公比为f(t)，作数列{b(n)}，使b1=1，bn=f{1/b(n-1)} (n=2,3,4…… 求 lim lga(n)/b(n) 答:3*t*S(n)-(2t+3)*S(n-1)=3*t 3*t*S(n-1)-(2t+3)*S(n-2)=3*t 两式相减： [S(n)-S(n-1)]/[S(n-1)-S(n-2)]=（2t+3）/3t,计算出a(2),即得证数列{a(n)}是等比数列。 a(n)=[(2t+3)/(3*t)]^(n-1) b(n)=f{1/b(n-1)}=b(n-1)+2/3=b(1)+(n-1)*2/3,后面的就………… 4. 答:An=48+2n Bn=6+4n 当k<=21时An>=Bn 所以An是长边，Bn是短边 所以最大的圆的直径是短边 即S=PI*R^2=PI*(2k+3)^2 选B 5.已知等差数列{an} 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前 3m项和是 答:我们可以利用m=1作为一种特例，很快就求出首项为30，第二项为100-30=70，公差为40，第三项为110，所以答案为210。 6.一个等差数列共有2n+1项，其中奇数项之和为36，偶数项之和为30，则第n+1项的值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.以上都不对 答:显然S（奇数）－S（偶数）＝a1+2nd-nd=a1+nd=a(n+1)=36-30=6 7.等差数列的第n项为1997，第1997项为n，该数列的第2000+n项是（ ）。 A.正数 B.负数 C.零 D.不确定 答:1、an=a1+(n-1)*d=1997 a1997=a1+1996*d=n解出 d=-1. a(2000+n)=a1+(n+1999)d=a1+1996d+(n+3)d =n+(n+3)d =n-(n+3)=-3<0 所以选B. 8.学校食堂每天供应1000名学生用餐，每星期有两道菜A,B可供选择。调查资料表明，若是在星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一会有30%改选A菜。若用 An,Bn表示在第n个星期一选A,B菜的人数。 试用：（1）用An,Bn表示An+1(注：n+1是下标） （2）证明：An+1=0.5An+300 答1).第1个星期一选A,B菜的人数分别为A1,B1. 则第二周选A,B菜的人数分别为 A2=A1*(1-0.2)+B1*0.3 B2=A1*0.2+B1*(1-0.3) A3=A2*(1-0.2)+B2*0.3 B3=A2*0.2+B2*(1-0.3) ............. 可得 An+1=An*(1-0.2)+Bn*0.3=0.8*An+0.3*Bn (2)由于A1+B1=1000得 B1=1000-A1 故A2=A1*(1-0.2)+B1*0.3＝0.8*A1+(1000-A1)*0.2=0.5A1+300 A3=0.5A2+300 ........... 得An+1=0.5An+300 第二问这么做更加简单： (2)由于An+Bn=1000得 Bn=1000-An 故由An+1=0.8*An+0.3*Bn ＝0.8*An+(1000-An)*0.3=0.5An+300 得An+1=0.5An+300 9.已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a9成等比数列， 则（a1+a3+a5）/（a2+a4+a10）=？ 答:1.把a5用d表示出来更好哦！ 由已知得a32=a1*a9 既(a5-2d)2=(a5-4d)(a5+4d) 拆开后化简可得出结论：5d=a5 接下来就可以用d的代数式来表示任一项来求解。 10.设a，b，c成等比数列，x为ab的等差中项，y为bc的等差中项，则a/x+c/y=？ 答:x=(a+b)/2,y=(b+c)/2，带入之后化简一下就可以了 11.数列1，（1+2），（1+2+3），...，（1+2+3+...+n），...的前n项和是？ 答:先求通项a(n)=n(n+1)/2=(n^2/2)+(n/2)，所以前n项和就是两个数列的和（两个数列分别是b(n)=n^2/2,c(n)=n/2） 12.实数a1、a2……an（a>=3）成等差数列，并且存在a1、a2……an的排列ai1、ai2……ain成等比数列，求满足上述条件且两两不同，最大数为1996的实数列a1、a2……an. 答:数列an显然是单调数列，然后分类讨论数列ain的单调性。 q>1,单调递增。但此时显然不行，a1-a1q≠a1q-a1q^2 0 13.设两个数列{an},{bn}满足 an+1＝－an－2bn ，bn+1＝6an+6bn ，n＝1，2，3…… 且a1＝2，b1＝4 （1）求数列{an},{bn}的通项公式 答:1.两个式子相除。然后有 An+1 / Bn+1 = （-An - 2Bn） / （6An + 6Bn） 上下都除以 Bn，我们有 An+1 / Bn+1 = （ - （An/Bn） - 2 ） / （ 6（An/Bn） + 6） 下面设An / Bn = Pn 即有 Pn+1 = （ - Pn - 2）/ （6 Pn + 6） 2. 3.朝化简数列（化为简单等比或等差及其组合形式）的方向考虑，注意这两个数列满足很有意思的线形关系，可以考虑构造简单数列：{r*an + s*bn},使这个数列为等比列，其中r,s是待定系数。 可以发现r=2,s=1，以及r=3，s=2满足条件（自己思考这个怎么得到的，嘿嘿） ` 很容易得到 2*an + bn 和 3*an + 2*bn 的通项，剩下的问题就是解这两个式子构成的二元一次方程组了 13.等比数列｛an｝中,Sn表示前n项的和,且S3=16,S6=4,则极限limSn=________ 答:S6-S3=a4(1+Q+Q^2) s9-s6=a7(1+q+q^2) ...... s3n-s3(n-1)=a(3n-2)(1+q+q^2) s3n-s3=a4(1+q+q^2)/(1-q^3)=12/(7/4)=48/7（n趋向无穷大） s3n=160/7(n趋向无穷大） 14.数列{ａn}中，a1=2，an+1—an=3n（n∈Ｎ+），则数列的通项公式为？ 答:a[n+1]-a[n]=3*n, a[n]-a[n-1]=3*(n-1) a[n-1]-a[n-2]=3*(n-2) ..... a[2]-a[1]=3*1 然后把上面的式子都加起来就行了 15.已知公差不为零的等差数列{an}中的部分项ak1、ak2……akn恰为等比数列，其中，k1=1，k2=5，k3=17 求：k1+k2+……+kn=? 答:由题意易得：a(1)=2d,q=3，则a(n)=(n+1)d,b(n)=2d*3^(n-1)，其中b(n)为等比数列 令a(m)=b(n),则m+1=2*3^(n-1),即m=k(n)=2*3^(n-1)-1,显然k(n)的前n项和为：S(n)=3^n-n-1 16.已知等比数列{an}前3项的和是9/2，前6项的和是14/3，求首项和公比！ 答:S6/S3=(1-q^6)/(1-q^3)=28/27. 1+q^3=28/27 q=1/3 a1就好求了 17.若{An}、{Bn}为等差数列，Sn为{An*Bn}的前n项和，求Sn 答:令An=a1+(n-1)d Bn=b1+(n-1)d’ AnBn=a1b1+a1(n-1)d+b1(n-1)d+(n-1)2dd’ 答: 答: 未解决的问题 1.已知在一列数中，A1+A2=0,S1+S4=1/8, (1)求此列数的通项公式 (2)解不等式An>1/16 注：A1为第一项，S4为前四项和，An为第n项 2。某工程车从仓库装运电线杆到500米以外的公路上一侧竖立，每隔50米在路边竖立电线杆一根，每车最多只能运电线杆3根，要竖完20根电线杆，最后返回仓库，则此工程车如何运输行程最短？最短行程是多少？ 3.这类公对于多于3个数适不适用： 前提：{an}等差 m+n=q+p am+an=aq+ap 前提：{an}等差 m+n=2q am+an=2aq 前提：{an}等比 m+n=q+p am·an=aq·ap 前提：{an}等比 m+n=2q am·an=（aq）^2 4.设等差数列{an}的前n项和是Sn，以知当且仅当n=5时Sn有最小值。 (1)当n为何值时，①Sn=0②Sn〉0③Sn〈0 （2）an有否可能等于0？试说明理由 （3）若a7+a8=72，问{an}中，有多少满足-9≤an≤260? 特殊数列 1.斐波那契数列　

[这个贴子最后由羊羊羊羊在 2004/12/04 11:30am 第 1 次编辑]

[论]
好贴，支持!

[这个贴子最后由羊羊羊羊在 2004/12/04 11:20am 第 1 次编辑]

[论]
非常好.不过.7733.我建议一下.做个总的问题集.然后分下类在每个分别的贴中.这样题集不会太分散.我感觉可能会更好点.供参考.

[这个贴子最后由gissing在 2004/12/04 11:54am 第 1 次编辑]

引用:

下面引用由ice7733在 2004/12/04 08:49am 发表的内容： 未解决的问题 1.已知在一列数中，A1+A2=0,S1+S4=1/8, (1)求此列数的通项公式 (2)解不等式An>1/16 注：A1为第一项，S4为前四项和，An为第n项 2。某工程车从仓库装运电线杆到500米以外的公路上一侧竖立，每隔50米在路边竖立电线杆一根，每车最多只能运电线杆3根，要竖完20根电线杆，最后返回仓库，则此工程车如何运输行程最短？最短行程是多少？ 3.这类公对于多于3个数适不适用： 前提：{an}等差 m+n=q+p am+an=aq+ap 前提：{an}等差 m+n=2q am+an=2aq 前提：{an}等比 m+n=q+p am·an=aq·ap 前提：{an}等比 m+n=2q am·an=（aq）^2 4.设等差数列{an}的前n项和是Sn，以知当且仅当n=5时Sn有最小值。 (1)当n为何值时，①Sn=0②Sn〉0③Sn〈0 （2）an有否可能等于0？试说明理由 （3）若a7+a8=72，问{an}中，有多少满足-9≤an≤260?

[答] 1。该题只告诉前四项之间的关系，即使可以求出前四项的值，最终的答案也不可能是一个，只要自己构造一个满足前四项的数列就可以了。 3。不太清楚什么意思。{an}等差 m+n+l=q+p+r,难道不能得到 am+an+al=aq+ap+ar 同理,对于n项也一样。 4。要使S5最小，则该等差数列前5项都小于或者等于零，而第6项开始大于零，而题中 当且仅当n=5时Sn有最小值，所以a5<0,而不能等于0，（如果等于，前4项也是最小值） (1)因为是等差数列，所以根据前面分析可以求当a1+(n-1)*d=-a1且n有正整数解时Sn=0 a1+(n-1)*d>-a1且a1+n*d<-a1求出正整数n,可以使S(n+1)>0,Sn<0 (2)上面已经分析不会为零 (3)直接算了，不过应该算不出具体的数字来

引用:

非常好.不过.7733.我建议一下.做个总的问题集.然后分下类在每个分别的贴中.这样题集不会太分散.我感觉可能会更好点.供参考.

想这样,可是时间用的太多,光作这些已经1个小时

1 试求一个正数x（不一定是有理数），它的小数部分{x}，整数部分[x]与此数本身恰是一个等比数列的连接三项。 [答] 设小数部分时y(0=n. 所以y*(n+y)=n^2=n,于是就有n=1,y=(根号5-1)/2 所以x=n+y=(根号5+1)/2 2 一个等差数列前10项之和为100，前100项之和为10，则前110项之和为多少？ [答] 把每十项的和看作一项（其和也是等差数列） 这样就变成了等差数列第一项为100，前十项和为10，求第十一项。这个应该没有问题吧！ 3 1）.一个等差数列共2n+1项，其中奇数项之和为305，偶数项之和为276，则此数列第n+1项为（ ） A.31 B.30 C.29 D.28 2）求在区间100，200（包括100和200），即不能被7整除也不能被5整除的所有整数之和。 [答] 1)奇数项之和=A1+A3+A5+A7+...+A(2n+1) 偶数项之和= A2+A4+A6+...+A(2n) 这是n个数相加 奇数项之和-偶数项之和=A1+nd=A(n+1)=305-276=29 2)(100+200)*101/2减去5的倍数减去7的倍数加上即是5的倍数又是7的倍数 这些数都有是100到200之间的数 4 1)已知1/a，1/b，1/c成等差数列，且a+c，a-c，a+c-2b都是正数，求证：lg(a+c)，lg(a-c)，lg(a+c-2b)也成等差数列。 2)在1和2之间插入2n个数，使这2n+2个数成等差数列，若前n+1个的和与后n+1个的和之比为11：16，求插入数的个数及该数列的公差。 [答] 1)，2/b=1/a+1/c,得到 2*a*c=b*(a+c) 而要求 2*lg(a-c)=lg(a+c-2b)+lg(a+c)，即(a-c)^2=(a+c)*(a+c-2b) 化简得 2*a*c=b*(a+c) 和已知条件相同了 2)，设公差为d,则1+(2n+1)d=2 前n+1项的和为：n+1+n(n+1)d/2 而总和为：(1+2)(2n+2)/2 所以后n+1项和为：2n+2-n(n+1)d/2 所以(1+nd/2)/(2-nd/2)=11/16 即9nd=4 所以d=1/9,n=4 总共要插入8项！ 5 已知：数列{an}满足a1=1，a（n+1）=2an+1,求an [答] 构造数列法 设bn=an + k,则b(n+1)-k=2(bn -k)+1.....(*) 得k=1 代入(*)式得b(n+1)/bn=2 b1=a1+1=2 所以bn=2^n 所以an=2^n-1 6 [答] 1)。证明等差数列，。。好像是a(n+1)-an=常数 吧，这样这个题就不用说了吧！ 2)。等差为4，求112+4*n>=450的n的最小整数解，得n=85 112+4*N =<600最大整数解， N=122 所以：122-85+1=38 或者，因为第一个大于450的该数列的项为452，所以(600-452)/4+1，取整数就可以了 3).要证明(b+c)/a,(c+a)/b,(a+b)/c成等差数列，即 2[(c/b)+(a/b)]=(b/a)+(c/a)+(a/c)+(b/c)---------------------*式. 依题，2/b = (1/a)+(1/c),，所以2=(b/a)+(b/c), 2a/b =1+(a/c), 2c/b =(c/a)+1 因此，*式左端=2+(a/c)+(c/a) *式右端=(c/a)+(a/c)+2 故*式成立。结论成立。 7. 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第三项加32又成等比数列，求这三个数。 [答] 可以这样设a,a+d,a+2d。 (a+d-4)^2=a(a+2d) (a+d)^2=a(a+2d+32)，所有的2ad项都消去了。应该不难解。 这题是2,6,18还有另外一组,懒得算了 8 两个等差数列,{An},{Bn}.两数列前n项和之比满足（7n+1)/(4n+27) 求A11/B11 课本复习参考题 [答] An/Bn=S(A2n-1)/S(B2n-1) 都用首项和公差表示就好了 9 1)等差数列{an}的前n项和Sn=m，前m项和Sm=n (m>n),求前m+n项和S(m+n)（用m,n的代数式表示) 2)在项数为n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，求n [答] 1)用m,n表示a1,d求S(m+n)=-m-n 2)S偶-S奇=nd=15 an-a1=(2n-1)d=27 得n=5 10 设数列｛an｝是由正数组成的等比数列，且公比q＝2,a1·a2·…·a30＝2的60次方，那么a3·a6·…·a30的值是 [答] 解：设a1*a4*a7*……*a28=A. 则a2*a5*a8*……*a29=A*2^10. a3*a6*a9*……*a30=A*2^20. 所以：a1*a2*a3*……a30=A^3*2^30. 所以：A=2^10 所以a3*a6*a9*……*a30=2^30. 11 1 10 38 103 ? 449 请求?表示的数字,老大说是有规律的数列 [答] 1 10 38 103 ? 449 ?=103+126=229 9 28 65 126 217 最后一个数有问题该是446 8+1 27+1 64+1 125+1 216+1 2^3+1 3^3+1 4^3+1 5^3+1 6^3+1