[这个贴子最后由五边形在 2006/01/19 09:55am 第 2 次编辑]

1、100个人回答五道试题，有81人答对第一题，91人答对第二题，85人答对第三题，79人答对第四题，74人答对第五题， 答对三道题或三道题以上的人算及格， 那么，在这100人中，至少有（ ）人及格
2、100个人回答五道试题，有98人答对第一题，96人答对第二题，95人答对第三题，25人答对第四题，15人答对第五题， 答对三道题或三道题以上的人算及格， 那么，在这100人中，至少有（ ）人及格?
3、一次算术比赛共有100人参加。比赛共5道题目，答对3题及以上者为合格。各问题回答正确的分别有：第一题a人、第二题b人、第三题c人、第四题d人、第五题e人。(a≥b≥c≥c≥e)请问，这次比赛合格者至少有多少人？
说明一下：
当然还有第四题，不过已经不属于这个地方讨论的了

100个人回答五道试题，有81人答对第一题，91人答对第二题，85人答对第三题，79人答对第四题，74人答对第五题， 答对三道题或三道题以上的人算及格， 那么，在这100人中，至少有（ ）人及格。
答对第一题的占：81%，
答对第二题的占：91%，
答对第三题的占：85%，
答对第四题的占：79%，
答对第五题的占：74%。

接着与下面的题目类似：
http://chat.pep.com.cn/lb5000/topic.cgi?forum=60&topic=3812

个人认为问题不算完全解决

我对此题依然是晕，我已经请太湖水老师有时间来解答。哪位老师有自己的想法请继续。。。

这是我在<智星论坛>上看到的一个贴子,题目是《没想到小学题也这么难》最后也没有一个结果。 我算下来是70人，在这想和大家交流一下，后面我把我做的发上来。不对的地方，大家指正

引用:

下面引用由五边形在 2006/01/17 04:39pm 发表的内容： 这是我在<智星论坛>上看到的一个贴子,题目是《没想到小学题也这么难》最后也没有一个结果。 我算下来是70人，在这想和大家交流一下，后面我把我做的发上来。不对的地方，大家指正

70人是对的。不过这个题不应算难，难一点的是下面的改动：“100个人回答五道试题，有98人答对第一题，96人答对第二题，95人答对第三题，25人答对第四题，15人答对第五题， 答对三道题或三道题以上的人算及格， 那么，在这100人中，至少有（ ）人及格。”因为这样涉及到的问题相对要多一些，请五边形老师和各位老师继续讨论这个改动后的题。

下面是一个网友给的答案，大家有什么看法？
100个人回答五道试题，有81人答对第一题，91人答对第二题，85人答对第三题，79人答对第四题，74人答对第五题， 答对三道题或三道题以上的人算及格， 那么，在这100人中，至少有（ ）人及格。
100*5-(81+91+85+79+74)=90
90/3=30
100-30=70人

引用:

下面引用由泽林在 2006/01/17 06:01pm 发表的内容：
70人是对的。不过这个题不应算难，难一点的是下面的改动：“100个人回答五道试题，有98人答对第一题，96人答对第二题，95人答对第三题，25人答对第四题，15人答对第五题， 答对三道题或三道题以上的人算及格， 　...

泽林老师这个题改的太好了！！！
楼上答案是算对了，但是方法上还存在问题，此题就是一个很好的反例

希望无边形老师或泽林老师给予详细分析，为方便大家查阅，此题已收藏到集锦帖之中，我对7楼的算法不解。

[这个贴子最后由泽林在 2006/01/18 05:44pm 第 2 次编辑]

引用:

下面引用由春苗在 2006/01/17 07:41pm 发表的内容：
希望无边形老师或泽林老师给予详细分析，为方便大家查阅，此题已收藏到集锦帖之中，我对7楼的算法不解。

好的，大版主，我就试解一下，有不明或不对，请大家再一起讨论。
【我编辑一下，将题目贴上，方便对照】“100个人回答五道试题，有98人答对第一题，96人答对第二题，95人答对第三题，25人答对第四题，15人答对第五题， 答对三道题或三道题以上的人算及格， 那么，在这100人中，至少有（ ）人及格。”
做这类题目，由于是要求至少的及格人数，故我们可先安排100人每人做对2题（这是办得到的），余下的做对题数再安排给这100人的某些人，先使得做对5题的人最多，若还有“做对题”余下，则再使得做对4题的人最多，若还有“做对题”余下，就只能分配给原来做对2题的人每人1题而形成做对3题，这样一来，做对2题的人数就是最多，即及格人数就最少。
从条件知道，做对的总题数＝98＋96＋95＋25＋15＝329题，先安排给100人每人2题，余下做对题数＝329－100×2＝129题，而从条件看只允许有15人做对5题，另外只允许有25－15＝10人做对4题，这样安排给做对5题和4题的人后，余下做对的题数＝129－15×（5－2）－10×（4－2）＝64题就只能分配给原来做对2题的人每人1题，形成了做对3题的人数为64人，而做对2题的人数至多就只有：
100－15－10－64＝11人，
即及格人数至少有100－11＝89人。

这类题属容斥原理题。要算出至少多少人及格，可以从最多有多少人不及格去算。把每题错的人数相加，得到错题总数。因为错3题算不及格，所以使不及格人都刚好错3题时不及格人数最多。把错题数相加除以3得数（去尾法取值）便是不及格人数，但是每题错的人数不能大于除以3的得数。下面以第一题目为例：
100个人回答五道试题，有81人答对第一题，91人答对第二题，85人答对第三题，79人答对第四题，74人答对第五题， 答对三道题或三道题以上的人算及格， 那么，在这100人中，至少有（ ）人及格
题号      做对人数       做错人数
  1       81              19
  2       91              9
  3       85              15
  4       79              21
  5       74              26
合计                      90
90/3=30（人）每题错的人数都小于30，所以最多有30人不及格。

这题中如果第一题86人做对（14人做错），每五题69人做对（31人）做错，错题总数没变，但是90/3=30表示30人平均每人刚好错3道，而第五题有31人出错了，这时不及格人数最多是29人了，其中有两人共错2题（还是及格了）。29*3+3=90

这类题属容斥原理题。要算出至少多少人及格，可以从最多有多少人不及格去算。把每题错的人数相加，得到错题总数。因为错3题算不及格，所以使不及格人都刚好错3题时不及格人数最多。把错题数相加除以3得数（去尾法取值）便是不及格人数，但是每题错的人数不能大于除以3的得数。下面以第一题目为例：
白杨树383 朋友,你用上面的方法做做下面这个题:
100个人回答五道试题，有98人答对第一题，96人答对第二题，95人答对第三题，25人答对第四题，15人答对第五题， 答对三道题或三道题以上的人算及格， 那么，在这100人中，至少有（ ）人及格。”

引用:

下面引用由五边形在 2006/01/17 04:14pm 发表的内容：
个人认为问题不算完全解决

就第一个问题而言，不知五边形老师认为不算完全解决是指哪一方面？

有兴趣的朋友还可以看一下这一题（2005年第14届日本算术奥林匹克预赛第8题）：
一次算术比赛共有100人参加。比赛共5道题目，答对3题及以上者为合格。各问题回答正确的分别有：第一题92人、第二题86人、第三题61人、第四题87人、第五题57人。请问，这次比赛合格者至少有多少人？

引用:

下面引用由白杨树383在 2006/01/18 05:09am 发表的内容：
这题中如果第一题86人做对（14人做错），每五题69人做对（31人）做错，错题总数没变，但是90/3=30表示30人平均每人刚好错3道，而第五题有31人出错了，这时不及格人数最多是29人了，其中有两人共错2题（还是及格　...

请问29*3+3=90表示什么？

引用:

下面引用由太湖水在 2006/01/18 09:20am 发表的内容：
就第一个问题而言，不知五边形老师认为不算完全解决是指哪一方面？

1、从共错多少道题去考虑，此法对一题是可行的，但是这个方法是也受一定条件限制，就是说，必须要能构造出一种情况的（第一题我已经构造出），象对第二题就不行，
下面是我构造的：
总共错了90道题,也就是不及格的人数最多30(90/3)人,编号为1到30
第一题（错19人）第二题(错9人）第三题（错15人）第四题（错21人）第五题（错26人）
做错的人1到10                                 1到10             1到10
                               11到16         11到16            11到16
                   17到21                    17到21            17到21
    22到26                     22到26                          22到26
    27到30         27到30      27到30  

存在这种情况,说明不及格人数最多可是30人,则及格人数最少70人

存在这种情况,说明不及格人数最多30人,则及格人数最少70人
2、泽林老师的做法和第种方法本质上一样的，只不过是去构造问题的另一面（当然第二题这样构造方便一些）但是还是要构造出来才行，只说能构造出理论上讲不够严密。
3、两种方法的逻辑根据是：
1）证明不能比这种情况多（或者少）
2）这种情况确实存在（这一点很必要，很多人就是少了这一步）
举个简单的例子：要证明最大值是2，而只证明比2小是不行的，还要证明可以等于2
4、能不能找出一个方法将两个题统一起来，而避开构造之苦呢？
容斥原理道是一个办法，但是放到小学是不是合适？再一个，我见到的用容斥原理做的都有问题。

同意五边形老师的意见，我也认为构造是必需的，而且我第一次讨论这个题时就给出了构造，在讲那道日本算术奥林匹克竞赛题时同样也强调了必须给出一种构造，题目的解答才算完整。
我个人比较偏爱用反向（即至多有多少不及格）来做，初步认为可以有一个统一的做法的，但认为即使这样，还是需要给出构造。
小学奥数中有学到简单的容斥原理，一般不超构三个集合。

有兴趣的朋友还可以看一下这一题（2005年第14届日本算术奥林匹克预赛第8题）：
一次算术比赛共有100人参加。比赛共5道题目，答对3题及以上者为合格。各问题回答正确的分别有：第一题92人、第二题86人、第三题61人、第四题87人、第五题57人。请问，这次比赛合格者至少有多少人？
这个题的解答应该也可用我上面的类似方法解决，再试做一下，有不对请指正。
做对题的总数＝92＋86＋61＋87＋57＝383（人题），同样先考虑做对5题的人最多只允许有57人，然后算做对4题的人最多只允许有61－57＝4人，【说明：为使大家能更好理解，特别是五边形老师提到的构造问题，我将次序调整一下，以便能明白构造过程，但其实质其实都是一样。】这时余下做对的人题数＝383－57×5－4×4＝82（人题），而这时还有100－61＝39人没有安排做对题目，我们可以安排每人做对2题，这时余下做对的题目＝82－2×39＝4（人题）就只能给这39人中的4人每人1题，形成有4人每人做对3题，这时最多做对2题的人数最多＝100－57－4－4＝35人，即至少合格人数为65人。

[这个贴子最后由泽林在 2006/01/18 07:42pm 第 2 次编辑]

引用:

下面引用由五边形在 2006/01/18 10:29am 发表的内容：
1、从共错多少道题去考虑，此法对一题是可行的，但是这个方法是也受一定条件限制，就是说，必须要能构造出一种情况的（第一题我已经构造出），象对第二题就不行，
下面是我构造的：
总共错了90道题,也就是不及格 ...

五边形老师，你所说的构造是没有问题的，你可以看看我回答太湖水版主提出的日本竞赛题的过程就能明白。
另外，你说你提出的题和我提出的题本质上是相同的，我觉得并不完全这样，你看看用你原来解决第一题的方法即“做错题目的总数÷3＝至多是不及格的人数”去做做我提出的题目（或者太湖水老师的题目），就知道这个方法是行不通的。