[附]100个著名初等数学问题（10楼开始）

这是hejoseph（何万程）老师花了一个多月时间做的，感谢何老师的奉献。
由于文章较长，只能分页下载，给你带来的不便，敬请凉解。（柯正）




有m种色彩的棋子A_1、A_2、…、A_m，A_1有n_1个，A_2有n_2个，…，Am_有n_m个，这n_1+n_2+…+n_m个棋子排成一圈，共有多少种排法？若不计旋转方向，又有多少种排法？
不知道这个问题是否已经有研究结果？
例如：有红白黑三色的棋子，现在各取两颗然后围成一圈，有多少种排法？
上面这个问题网上曾流传这样的标准答案：(6!/(2!*2!*2!))/5=18，但实际上只有16种排法。

[ 本帖最后由 hejoseph 于 2007-9-21 11:25 编辑 ]

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有红白黑三色的棋子，现在各取两颗然后围成一圈，有多少种排法？
这种有实际数字的我倒是可以分类讨论出来,但若用字母代替,情况应该非常复杂,不知道是怎么来得,还请高人指点啊.

愿读hejoseph老师的详细想法。

若n_1、n_2、…、n_m的最大公约数是1，这个问题很容易，就是(n_1+n_2+…+n_m)!/(n_1!n_2!…n_m!(n_1+n_2+…+n_m))=(n_1+n_2+…+n_m-1)!/(n_1!n_2!…n_m!)。
若n_1、n_2、…、n_m的最大公约数大于1，则非常复杂，看看下面具体例子是有点启发性的：
有红白黑三色的棋子，现在各取两颗然后围成一圈，有多少种排法？
如果不是排成一圈，而是一直线，则有6!/(2!×2!×2!)种方法。
假设已经排，并按逆时针方向标记每个放棋子的位置为1，2，3，4，5，6，不妨按逆时针方向旋转，使标记为1号的位置放上红色棋子，5、6号没有一个位置放上红色棋子（想想为什么？）。
现在就要考察直线排列和这样的圆排列的关系。每一上述种排法一般可以产生对应六种直线排列；但在特殊情况下就只能产生三种直线排列方法，例如：红白绿 红白绿 和 红绿白 红绿白，而且在这个前面的条件下也只有这两种。
设排列总数为n，则6(n-2)+3×2=6!/(2!×2!×2!)=90，求得n=16。

[ 本帖最后由 hejoseph 于 2006-9-12 19:50 编辑 ]

请问hejoseph老师,有红色,黄色各6个棋子,可以组成的花色是多少啊?用上述方法是不是太复杂拉?怎么才能即不重复又不遗漏的最简便的方法呀?
请赐教!

我确实没找到什么简便的方法，所以发上来大家讨论一下。

呵呵,你们又不翻老贴,看这个,应该有所启发吧
http://chat.pep.com.cn/lb5000/topic.cgi?forum=38&topic=18380

其实早就有结果了,对任意的{a_1*e_1,a_2*e_2,...,a_n*e_n}其中e_i是重复数(i=1,2,...,n)的圆排列数和环排列总数,都有完整的公式(对我来说当然太太太深奥了),关系到数论,什么欧拉函数等等,还有很多看都没看见过的符号.
总之太深奥,...

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