问题:函数y=x^2的单调减区间是:
填空,到底是填(-无穷,0)
还是(-无穷,0]

还是都可以?


意见1:单调区间是最大程度上的,必须闭.这个也比较符合定义.


意见2:函数的单调性是对于某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。因而，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调。因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以。 但一般情况下，若点的x值属于定义域，则开闭区间均可，否则，必须是开区间。
可开可闭.   (-无穷,0)不能说错!要是高考说开区间是 错 的,那样就是误导.

应该都可以

这个是我在一次改卷中,改的是高中会考的卷子,里面的一道填空题.
我们组分成了这样的两种意见.真的非常晕,希望大家解惑.

向大家学习!

这是个约定的问题, 如果约定写最大的, 那就写最大, 没别的理由.

开区间上单调=>闭区间上单调 需要连续的条件... 当然中学很多函数都连续.


另外羊老师说的组合问题 , 我持的意见是最好两个都写成闭的.

钻牛角尖的理由如下,目的是为每种写法提供本质上有区别的例子.

考虑函数

f(x)=x^2,x<0; x^2+1,x>=0
g(x)=x^2,x<=0;x^2-1,x>0
h(x)=x^2,x<0;2,x=0;x^2+1,x>0
r(x)=x^2

分别代表一开一闭,两闭两开的情况, 当然连续的话不存在问题了.

[ 本帖最后由 风萧瑟 于 2007-12-8 18:18 编辑 ]

在下学习了.在给了定义域的情况下.

不是成对出现的时候，讲最大，因为0可以被取到，符合定义。
问单调区间时，一个取闭，一个就得取开了，为了使整个定义域连贯。
约定问题。

这题显然是填最大的呀!

从求导来看:
Y=X^2
Y'=2X
当Y'=2X<0时,表示Y是递减的,即X<0时,函数递减
这表明: 递减区间不包括X=0这点.
同理,递增区间也不包括X=0这点.

一般地,递减区间与递增区间的交界处,或是拐点处,都是非增非减的,不应包括在递减或递增区间内,因为,非增非减区间,本身就是一个独立的区间.是一个独立的"过渡"区间.

[ 本帖最后由 rvyouiy 于 2007-12-8 22:28 编辑 ]

这段话不太对，求导只是一种方法，而且是一种有局限的方法，不是对单调性的定义吧？我没有教材，从定义上，应该不太会排除掉闭区间的吧，那么只要符合定义，单调区间完全可以是闭的，至于求导，那还有不可导的呢，单调性并不依附于可微性吧。不要把一些方法、性质、定理反过来当定义用，除非可证明两者等价。

[ 本帖最后由 oldshanmao 于 2007-12-8 22:34 编辑 ]

这不与区间的开闭相矛盾,不能因为有了闭区间的定义就到处使用.闭区间可以在离散或间断点处用.可以在不涉及到增减性的连续区间用.

微分法虽然不是用来定义区间的开与闭的,有时也是不可微的,但是如果可微的话,至少对于本题目来说是可微的,就不应出现与区间的开闭相矛盾的场面.这里用微分法,只是为了说明一下,非增非减区间本身是一个具有独立意义的区间.这是我个人的看法,与上面其他人的各种观点汇到一处供参考吧,呵呵~~~~~

[ 本帖最后由 rvyouiy 于 2007-12-9 02:12 编辑 ]

高中现在讲的是都可以
因为抛开已经求出来的区间
对于单个一个点来说
增或者减都是没什么意义的
所以加不加入区间都是可以的

不要只是因为一个点,就说没有多大意义,可能很多问题就是出在一个点上,既然是定义
了,就是一个点也不能放过,0永远不能做分母,不能因为只是一个点而不必讨论,挑战者就是因为一个小小的螺钉而...呵呵~~~~~~

[ 本帖最后由 rvyouiy 于 2007-12-8 22:58 编辑 ]

不能这么说，导数是做可微函数某一点附近的性质，对于y=x^2在x=0这一点，导数法判断出来的结果是：在以0为内点的任意的小区间内没有一致的单调性，注意，结论是针对"以0为内点的区间"下的，不是对x=0这一点下结论，一点无所谓单调性。所以导数并没有否定(-∞,0]和[0,+∞)这两个区间是单调区间，到底是不是，拿出定义来，遵照定义判断，与导数无关

[ 本帖最后由 oldshanmao 于 2007-12-8 22:59 编辑 ]

那么怎么判断函数的增减性呢?也就是怎么判断函数的单调区间呢?

我不认为一点的增减性是不重要的,相反,正是这些不起眼的某些特殊的点,才更有搞清楚的必要.就象集合,可以有空集,点集等,非增非减区间也是可以属于空集或点集的.

[ 本帖最后由 rvyouiy 于 2007-12-8 23:11 编辑 ]

拿导数判断就会有一定的问题
比如说y=x^3
显然它是在R上单调递增的
但看y’=3x^2
若使得y'>0则x不等于0
这又与事实矛盾~~

用定义，还有一些熟知的结论，当然包括导数这个方法。

高中只是接触了一点点高等数学的东西而已，从理论方面来说是很不完整的。一个连续函数，[a,b]包含在定义域内，如果(a,b)上有一致的单调性，那么[a,b]上也一样，再大一点就不一定了，要继续判断。当然，你会发现这样的话就单调区间而言对于一个端点放不放进去影响不大，研究时不会去强调这个点，对一个点，研究它是否是极值点，当然对连续函数这相当于就是看两边的单调性。另有一些性质，在开与闭区间上行为有明显区别，那么就要去好好研究了。

一般"单点"不叫"区间"；所以不会把某个单点写为一个非增非减区间，哪怕他是一个孤立点，两边都没定义。

[ 本帖最后由 oldshanmao 于 2007-12-8 23:30 编辑 ]

导数的存在是要有条件的，且单调性不是抓个函数来导一下，大于0或者小于0就了事了的。

[ 本帖最后由 羊羊羊羊 于 2007-12-8 23:18 编辑 ]

在y'=0的点，要根据它两边的情况来判断(可以的话，能用二阶导数)，他也许是一个极值点，也许是一个拐点，也许是一条水平线上的一点，也许啥都不是……

[ 本帖最后由 oldshanmao 于 2007-12-8 23:39 编辑 ]

导数是个放大镜,是唯一能看清局部,乃至一个点的邻域处的性质的有力工具.

如果是离散的自变量,是不是包括在单调区间是一目了然的,也就不用讨论了.

正因为单调区间含有连续的区间,要想看清一个点是否包括在单调区间之内,除了用导数,还有什么呢?

定义是说随着自变量的增大,函数值也增大,就是增函数.而对于一个连续的区间,我们又怎么能去一个一个地去比较呢?这个定义还有一点可操作性吗?而导数就恰恰严格地按照这个定义去做的.

[ 本帖最后由 rvyouiy 于 2007-12-8 23:44 编辑 ]

"随着自变量的增大,函数值也增大",现在定义是这么说的?, 这最多是一种描述, 严格定义大致是这样的.

对于区间I上的任意两点x1,x2，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，此时称f(x)在区间I上单调增，或称I为f(x)的一个单调增区间