已知三角形ABC三边为a,b,c，求证：COtA+cotB+cotc>=根号3

[ 本帖最后由 langjijiaoyu 于 2008-6-27 23:51 编辑 ]

tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC将右面除到左面去
得cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1,设cotA=x,cotB=y,cotC=z则
(x+y+z)²=x²+y²+z²+2≥3
若为钝角三角形不妨设∠A为钝角,cotA=-cot(π-A),π-A>B,cot(π-A)<cotB,于是x+y+z>0

[ 本帖最后由 数学白痴盲 于 2008-6-28 15:03 编辑 ]

这个不错，但要先证tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC

记得是书上的习题

我这样考虑的：若A.B.C均为锐角，则至少有一个小于60，于是成立；若为钝角三角形，不妨设C为钝角，则A+B为锐角，且A,B至少有一个小于60.不妨设A小于60，则cotA+cotB-cot(A+B)>=根号3；若直角三角形，易证

没问题吧？谢谢你啊

那里有那么易证啊
cot60°=√3/3

哦，我搞错了

我之前做过, 我是分类讨论的, 分三角形为锐角三角形和非锐角三角形, 锐角三角形可以用琴生, 非锐角三角形可以用函数单调性(我好像是求导了呵)....总之还是挺麻烦的

还要证x+y+z大于0吧？

引用:

原帖由 kuing 于 2008-6-28 13:05 发表
我之前做过, 我是分类讨论的, 分三角形为锐角三角形和非锐角三角形, 锐角三角形可以用琴生, 非锐角三角形可以用函数单调性(我好像是求导了呵)....总之还是挺麻烦的

能否详细点呢？

琴生不等式会用不?

都忘了，写出来可能知道一点。你觉得2楼的对吗？

那个......确实还要说明一下x+y+z的范围(也就是要证明不取负的那边)....

麻烦仔细看下
不是所有的不等式都要非负的,2楼的对于x+y+z是否大于0没有要求吧

我知道你的(x+y+z)²≥3是成立的, 但后面要两边一起开方才能得到原不等式, 这里两边一起开方是不是要考虑正负?

只怪你写得太简,他们没看明白
不过个人认为,数学解答,写得太简实在是体力劳动,把核心写出即可

呵呵, 我并不是不明白, 二楼那里写的都没错, 但那里离原不等式就差那么一步, 然而那一步就是要考虑正负的.

他只是写到:
(x+y+z)²≥3
还没开方呢

确实要说一下