这两题还是把条件补上并严格解一下比较好， 虽然有很多不是高中范围内的。另外，网上看到过第二题的错解
下面写得比较简略，不过基本要点都在了
1 已知f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=1,(a>0,a不等于1)，求f(x)
这题严重缺条件，现在这样就已经是一个错题了
首先得加上定义域限制，比如x>0，不然
f(0a)=f(0)+f(a) 我们得到 f(a)=0，这已经和题设矛盾了
先加上定义域限制x>0，另外还得加上f是连续函数这个条件，不然只能做到下面的4)
1) f(1)=0
2) f(xn)=nf(x), n∈Z
3) f(xn/m)=(n/m)f(x), n,m∈Z,m≠0
4) 利用已知条件以及上面的1)~3)，我们已经能确定f(an/m)=n/m
对于任意一个正数x, 有x=alnx/lna，假如lnx/lna是有理数，前面已经解决，如果是无理数，那么能够写成一列有理数{rn}的极限，根据f，以及指数函数、对数函数的连续性，还有Heine定理，我们得到
f(x^rn)→f(x), n→∞
也就是 rn→f(x), n→∞
因此 f(x)=lnx/lna
综上，对于一切x>0，我们有f(x)=logax
2 已知f(xy)=f(x)f(y),f'(1)=a,求f(x)
这题不用加条件就能做，不过比较难，结论也比较复杂
f(0)=0或f(0)=1
f(1)=0或f(1)=1
若 f(0)=1 我们有 1=f(0)=f(x)f(0)=f(x)
若 f(1)=0 我们有 f(x)=f(1)f(x)=0
从上面的分析可以看出， f(0)=1且f(1)=0这种组合是不存在的，当a=0的时候，本题可以有f(x)=0以及f(x)=1这两种平凡解。
接下来分析f(0)=0且f(1)=1这种组合。(包括a≠0时的解，以及a=0时的非平凡解)
[f(-1)]²=f(1)=1
当 f(-1)=1 的时候，f是偶函数
当 f(-1)=-1 的时候，f是奇函数
无论如何，接下来我们只需要考虑x,y>0即可
f(xn)=[f(x)]n, n∈Z
由于f'(1)=a，f在x=1是连续的，对于任何一个趋于1的正数序列{rn}，有
f(rn)→f(1)=1, n→∞
于是，当n足够大的时候，一定有f(rn)>0
对于任意一个正数x，x1/n→1, 因此，当n足够大，就有f(x1/n)>0，此时也必有 [f(x1/n)]n=f(x)>0 , f(x1/n)=[f(x)]1/n
对任意的除了1以外的正数x
由于f'(1)=a 我们有 [f(x1/n)-1]/(x1/n-1)→a, n→∞
也就是 {[f(x)]1/n-1}/(x1/n-1)→a
左边的极限可以求，也就是 ln[f(x)]/ln(x)=a
f(x)=x^a
综上所述
a>0的时候，有两个解
f(x)=|x|a
以及分段函数
f(x)=xa (x≥0)
f(x)=-(-x)a (x<0)
a<0的时候，也有两个解，其实和上面一样，不过写起来必须多分一段，其实上面a>0的解也可以这么写
f(x)=|x|a (x≠0)
f(x)=0 (x=0)
以及
f(x)=xa (x>0)
f(x)=0 (x=0)
f(x)=-(-x)a (x<0)
a=0的时候，有四个解
A)
f(x)=1 (x≠0)
f(x)=0 (x=0)
B)
f(x)=sgn(x) (这里sgn是符号函数)
C)
f(x)=1
D)
f(x)=0
上面基本算是完整解答了吧，省略了一些细节。第二题要有确定的f，应该限定a≠0且给出f(-1)的值。
[ 本帖最后由 oldshanmao 于 2008-7-21 11:40 编辑 ]
