有扑克牌若干张如下:

两张1(A),两张2,两张3..........,两张N

要求排成一排,并满足如下条件:

两张A之间隔有一张牌,两张2之间隔有两张牌,.........两张N之间隔有N张牌.

问有多少种排法?

题目意思不明确，怎么做？按照题目意思，总共只有两张1(A),两张2,两张3..........,两张N，而又要两张A之间隔有一张牌,两张2之间隔有两张牌,.........两张N之间隔有N张牌，哪来的牌去插入

引用:

原帖由 yangyou719 于 2008-7-19 00:07 发表
题目意思不明确，怎么做？按照题目意思，总共只有两张1(A),两张2,两张3..........,两张N，而又要两张A之间隔有一张牌,两张2之间隔有两张牌,.........两张N之间隔有N张牌，哪来的牌去插入

例：
N=3时解法为2种:
3,1,2,1,3,2
2,3,1,2,1,3

初步想法：
对于一般n的问题，
假设L是一个这样的序列，
命题1：将L各位数从左向右编号1,2,3,...,2n，若前面的数i的编号为b(i)，则后面的数i的编号为b(i)+i+1.
证：据题意，由于前后两个i之间隔i个数，故得。
命题2：$sum_{i=1}^nb(i)=(3nn-n)/4$
证：直接计算L上数字所有编号的和$s=1+2+...+2n=2nn+n$...(1)
再间接计算这个和
$s=前数编号和+后数编号和
$=sum_{i=1}^nb(i)+sum_{i=1}^n(b(i)+1+i)
$=2sum_{i=1}^nb(i)+n+n(n+1)/2$...(2)
由(1)(2)得
$sum_{i=1}^nb(i)=(3nn-n)/4$
推论：长度为2n的L存在的必要条件是n=4k或4k+3.
证：若不然，则n=4k+1或4k+2,由$sum_{i=1}^nb(i)=(3nn-n)/4$得$sum_{i=1}^nb(i)$为分数，这是不可能的。
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另外考虑一个特殊情况－－前数都在左半边（或说前后数对半分）的情况。
此时有$sum_{i=1}^nb(i)=n(n+1)/2$，再结合命题2解得n=3或0(舍)。
也就是说前后数对半分的L只有n=3时才存在。这就是为什么n=3时例子特别好举，而n为其它值时不好举的原因。建议举一个前后不是对半分的例子，不知是否举得出。
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没想到人教不支持公式，如果上面的看不清，请看这个：http://bbs.bossh.net/home/u/wantnon/archives/2008/392.html

[ 本帖最后由 wantnon 于 2008-7-19 08:20 编辑 ]

引用:

原帖由 wantnon 于 2008-7-19 06:47 发表
长度为2n的L存在的必要条件是n=4k或4k+3

这个推论正确，好像也是充分条件
但似呼离答案还很远

看来楼主自己对这道题也知道不少，不如先把知道的，想到的都说说，对别人也是有益的启示。

[ 本帖最后由 wantnon 于 2008-7-19 08:22 编辑 ]

对N=4k+1, N=4k+2无解也可如下判断：
2N个占位中一半奇一半偶
对于偶数牌，占位一定是一奇一偶，如两张4占第1,6位
所以所有偶数牌占奇偶位相同，那么所有奇数牌占奇偶位也应相同
对于奇数牌，占位要么都是奇，要么都是偶，如3占1,5位或2,6位，
形如N=4k+1, N=4k+2，奇数牌的对数是奇对，无法占相同数量的奇偶位
所以所有奇数牌占奇偶位不同,不满足要求