已知：抛物线y＝－x^2+px+q交x轴于点A、B，交y轴于点C（如图），又∠ACB＝90度，tan∠CAO－tan∠CBO＝2.
(1)求抛物线的解析式。
（2)设平行于x轴的直线交抛物线于点M，N，是否存在MN为直径且与x轴相切的圆？如果不存在，说明理由；如果存在，求出圆的半径

⑴设点A的坐标为(x₁，0)，点B的坐标为(x₂，0)
则x₁、x₂是方程－x²＋px＋q＝0的两个根，由根与系数关系得：x₁＋x₂＝p，x₁x₂＝－q
又当∠ACB为直角时有：q²＝OC²＝OA·OB＝－x₁·x₂＝q
∴q＝0(舍去)或q＝1
而由已知：tan∠CAO－tan∠CBO＝2得：OC/OA－OC/OB＝2
即有：q/(－x₁)－q/x₂＝2
∴q(x₁＋x₂)＝－2x₁·x₂＝－2q
即：pq＝－2q，p＝－2
∴所求的函数解析式为：y＝－x²－2x＋1

∴q(x1＋x2)＝－2x1·x2＝－2q
即：pq＝－2q，p＝－2
∴所求的函数解析式为：y＝－x^2－2x＋1

写错了吧，应是q(x1＋x2)＝－2x1·x2＝2q
得p＝2∴所求的函数解析式为：y＝－x^2+2x＋1

楼主说的对，忽视了
⑵存在这样的圆，只要MN等于MN与x轴间的距离的2倍就可以了，为此可设直线为y＝a，点M、N的坐标分别为：(m、a)、(n、a)，于是m、n必是方程：－x²＋2x＋1＝a的两根
由根与系数关系得：m＋n＝2，mn＝a－1
又MN＝|m－n|＝2|a|
∴(m－n)²＝4a²
∴(m＋n)²－4mn＝4a²
即：4－4(a－1)＝4a²
解得a＝－2或a＝1
也就是直线y＝－2或直线y＝1截抛物线所得线段MN，以MN为直径的圆均与x轴相切，此时圆的半径分别为2或1

[ 本帖最后由 南山菊 于 2008-10-1 19:03 编辑 ]

谢谢南山菊老师！