1、 97……97（共888位）÷55的余数是多少？
2、19……19（共100位）÷99的余数是多少？
谢谢各位！

1、除到第23位后，商将重复出现17814508....（共22位）.....054。所以881位起的8位97979797除以55的余数是47，这就是本题要求的余数。

[ 本帖最后由 l-xj 于 2008-10-5 07:50 编辑 ]

1、 97……97（共888位）÷55的余数是多少？
97……97（880位）能被11整除，97……97（880位）0……0（8位）肯定能被55整除。

和原数对比，还有97979797（8位）。易验证9790能被55整除，所以剩下70007，经计算余数为47。

19……19（共100位）÷99的余数是多少？

19……19（共100位）
＝19×（10……01）（50个1，49个0）
＝19×（1010……01（44个1，43个0）0……0（12个0）＋1010……01（6个1，5个0））
＝19×（1010……01（44个1，43个0）0……0（12个0）－44＋1010……01（6个1，5个0）＋44）
＝19×（1010……01（44个1，43个0）0……0（12个0）－44＋1010……106（5个1，5个0，1个6）＋39）
＝19×（1010……01（44个1，43个0）0……0（12个0）－44＋1010……106（5个1，5个0，1个6）－11＋11＋39）
＝19×（1010……01（44个1，43个0）0……0（12个0）－44＋1010……106（5个1，5个0，1个6）－11＋50）
最后变成了19×50÷99的余数得59。
带颜色的部分均能被99整除。
做法很复杂，正在考虑其他方法。

请大家帮忙检验。谢谢！！

（已修改正确）

风雨数学 老师的解法：（偶楼上肯定错了，这个奥数疯疯，实在是佩服佩服！！呵呵！！明天偶再改吧。）

100和1相对于99同余
两位两位的分段
所以，19×50＝950，50＋9＝59，余数是59

站在小学老师的角度，我作了如下思考：
思考依据：9和11的倍数的特征，以及整除性质——如果b|a，c|a，且(b，c)=1，那么bc|a。

第1题：97……97（共888位）÷55
               (9-7)×444=888
               11|(888-8)
               5|(97+8)
               11×5|(97……97+8 )
                             888位
                55|(97……97+8 )
                        888位
                则：55-8=47（所求余数）

第2题：19……19（共100位）÷99
              (1+9)×50=500
              (9-1)×50=400
              9|(500+4)
              11|(400-4)
             个位上是9，4只能加在十位上。
              9|(19……19+40)  即9|(19……1959)
                     100位                       98位
             11|(19……19+40) 即11|(19……1959)
                     100位                          98位
              9×11|(19……1959)
                             98位
              99|(19……1959)
                        98位
              则：99-40=59（所求余数）

敬请各位老师指正。谢谢

[ 本帖最后由 dhyylh147 于 2008-10-5 01:24 编辑 ]

引用:

原帖由 dhyylh147 于 2008-10-5 01:16 发表
站在小学老师的角度，我作了如下思考：
思考依据：9和11的倍数的特征，以及整除性质——如果b|a，c|a，且(b，c)=1，那么bc|a。

第1题：97……97（共888位）÷55
               (9-7)×444=888
               ...

不错，顶一下！

第2题：19……19（共100位）÷99
              (1+9)×50=500
              (9-1)×50=400
              9|(500+4)
              11|(400+4)
             个位上是9，4只能加在十位上。

上面括号里是不是应该是加法啊，这样就不难理解所加的4在什么数位上了。

风雨数学老师的解法对第一题好像不太好用 （偶想了半天不会用）
对第二题倒是很好理解的。
1900/99……余19
1919/99……余19*2
191919/99……余19*3

1919……19/99    余19*50=950
950/99    余59

学习了。但你最后的“易验证9790能被55整除，所以剩下70007，经计算余数为47。”用你的思路改成：“97979750能被55整除，所以余数就是47”，岂不更简明。

风雨老师的解法的确是很奇妙。

偶也在想第一题能不能套用一下。

当时想的是9790
（9＋9）－（7+0）＝11，末位数是0，所以被55整除。

谢谢lxj老师。

第一题：
易验证9700与20相对于55同余
970000与20相对于55同余
………………
20×443＋42＝20×440＋60＋42＝＝20×440＋55＋47

感谢l-xj、笨巧果、零点守候。话越说越多，知识越辨越明。学习了。