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[不等式] 不等式sum(1/(2+a^2+b^2))<=3/4

本主题由 kuing 于 2009-11-30 13:09 分类

icesh

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1^# 中小发表于 2009-11-29 20:07 只看该作者

不等式sum(1/(2+a^2+b^2))<=3/4

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2^# 中小发表于 2009-11-29 20:27 只看该作者

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3^# 中小发表于 2009-11-29 22:49 只看该作者

回复 2# 的帖子

证出这个也没用吧, 放过了吧...

不过你二楼这个东东又确实成立, 但也不好证, 好像在兴趣小组有个类似...

算了吧，这是一个“神奇”的论坛，各种“神奇”的设置和管理，“十五除三”就算是没常识也算了，就连论坛时间都可以搞得向前“穿越”十多个小时，实在太神奇了，我们不用熬夜也成夜猫子了:D

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4^# 中小发表于 2009-11-29 22:49 只看该作者

今天太困了, 没精力玩了, 先睡一觉再说.......

算了吧，这是一个“神奇”的论坛，各种“神奇”的设置和管理，“十五除三”就算是没常识也算了，就连论坛时间都可以搞得向前“穿越”十多个小时，实在太神奇了，我们不用熬夜也成夜猫子了:D

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5^# 中小发表于 2009-11-30 11:50 只看该作者

仅仅是Cauchy不等式就可以证明了.2009年伊朗的国家队题目。

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6^# 中小发表于 2009-11-30 12:21 只看该作者

话说我暴力地证了......

去分母展开后配方得

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算了吧，这是一个“神奇”的论坛，各种“神奇”的设置和管理，“十五除三”就算是没常识也算了，就连论坛时间都可以搞得向前“穿越”十多个小时，实在太神奇了，我们不用熬夜也成夜猫子了:D

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7^# 中小发表于 2009-11-30 12:22 只看该作者

鉴于难度关系转去兴趣小组

这类不等式题以后尽量发兴趣小组吧...

算了吧，这是一个“神奇”的论坛，各种“神奇”的设置和管理，“十五除三”就算是没常识也算了，就连论坛时间都可以搞得向前“穿越”十多个小时，实在太神奇了，我们不用熬夜也成夜猫子了:D

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8^# 中小发表于 2009-11-30 12:43 只看该作者

$\Longleftrightarrow \sum{\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}}\geq \frac{3}{2},but\\ \sum{\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}}\geq \frac{(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}\\ =\frac{2(a^2+b^2+c^2)+2\sum{\sqrt{a^2+b^2)(b^2+c^2)}}}{2(a^2+b^2+c^2)+6}\geq\frac{2(a^2+b^2+c^2)+2\sum{(b^2+ca)}}{2(a^2+b^2+c^2)+6}=\frac{3}{2}$

汗，网站的编辑真不会了。。。将就着看吧。

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icesh

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9^# 中小发表于 2009-11-30 13:04 只看该作者

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10^# 中小发表于 2009-11-30 13:08 只看该作者

回复 8# 的帖子

嗯...行

算了吧，这是一个“神奇”的论坛，各种“神奇”的设置和管理，“十五除三”就算是没常识也算了，就连论坛时间都可以搞得向前“穿越”十多个小时，实在太神奇了，我们不用熬夜也成夜猫子了:D

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11^# 中小发表于 2009-11-30 13:53 只看该作者

a,b,c>0,a+b+c=3,确定k的最小值使得下式恒成立
$\frac{1}{a^2+b^2+k}+\frac{1}{b^2+c^2+k}+\frac{1}{c^2+a^2+k}\leq \frac{3}{k+2}$

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12^# 中小发表于 2009-11-30 15:24 只看该作者

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其实我想知道有没有人研究过这问题了......

算了吧，这是一个“神奇”的论坛，各种“神奇”的设置和管理，“十五除三”就算是没常识也算了，就连论坛时间都可以搞得向前“穿越”十多个小时，实在太神奇了，我们不用熬夜也成夜猫子了:D

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13^# 中小发表于 2009-11-30 15:39 只看该作者

回复 11# 的帖子

"bottema"说k可以达负无穷, 也可达正无穷, 但直接证这个k又不成立, 怪? 看来是"两极"成立, 但中间不成立... 我研究下..........

算了吧，这是一个“神奇”的论坛，各种“神奇”的设置和管理，“十五除三”就算是没常识也算了，就连论坛时间都可以搞得向前“穿越”十多个小时，实在太神奇了，我们不用熬夜也成夜猫子了:D

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14^# 中小发表于 2009-11-30 16:08 只看该作者

此题属于Vasile....

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15^# 中小发表于 2009-11-30 16:14 只看该作者

k≥0时等价于

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他山之石，可以攻玉。
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16^# 中小发表于 2009-11-30 16:17 只看该作者

回复 13# 的帖子

不过没有最小k也正常, 当k负得很厉害时,
sum(1/(a^2+b^2+k))<=3/(k+2)
即
sum(1/(-k-a^2-b^2))>=3/(-k-2)
用柯西后再放个缩是显然成立的
比如取k=-100, 则不等式等价于
sum(1/(100-a^2-b^2))>=3/98
由柯西有
sum(1/(100-a^2-b^2))>=9/(300-2(a^2+b^2+c^2))>=9/(300-2(a+b+c)^2/3)=3/98...

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17^# 中小发表于 2009-11-30 16:39 只看该作者

当k>=2时用同样的方法已经获证

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18^# 中小发表于 2009-11-30 16:52 只看该作者

k≥0时k的最小值为1.6时1/(a²+b²+k)+1/(b²+c²+k)+1/(c²+a²+k)≤3/(k+2)恒成立。
k≤0时猜测k的最大值为-9时1/(a²+b²+k)+1/(b²+c²+k)+1/(c²+a²+k)≤3/(k+2)恒成立。

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19^# 中小发表于 2009-11-30 17:03 只看该作者

本人失误了，没有说明k为非负数...引来大家一片讨论。当k为非负时，何版的结果是正确的。
当k小于0时，没有考虑过了...

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20^# 中小发表于 2009-11-30 17:14 只看该作者

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没关系, 说不定这讨论负数还会有更好玩的结果...

负数时, 如果分母能正数地趋向0, 那么应该就不会小于等于个常数了吧? 看来还能一搞...

[ 本帖最后由 kuing 于 2009-11-30 17:16 编辑 ]

算了吧，这是一个“神奇”的论坛，各种“神奇”的设置和管理，“十五除三”就算是没常识也算了，就连论坛时间都可以搞得向前“穿越”十多个小时，实在太神奇了，我们不用熬夜也成夜猫子了:D

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