题非原题，而是此类的一般叙述。熟悉竞赛的朋友马上知道此题的解法，也就是答案提供的方法。

这里请教其它方法，任意方法，不限制在初中知识，为了不影响答题者思路，原答案（方法）放二楼。

十分感谢。




[ 本帖最后由 isea 于 2010-8-20 08:05 编辑 ]

2010北京中考数学最后一题，原答案（方法）如下


[ 本帖最后由 isea 于 2010-6-27 23:38 编辑 ]

果真是名题，google 来一个，原链接。

现配图简要转答如下。



[ 本帖最后由 isea 于 2010-6-27 23:32 编辑 ]

这个有难度了....

是啊，毕竟是竞赛题。

∠ABP一定是30度，不知道能不能从这里突破。

我记得这道题在华东师大的小丛书《几何变换》肖振纲著的轴对称变换那章有几种解法，好像是一道83年左右的竞赛题，特别老的一道题了，但是比较经典。直接。拿一道成题当考题，太不公平了。至少应该改改

不是很多人相信考试的导向作用吗？我觉得这道题的导向作用就特别好。现在我们的初中教学实在太没有意思了，学生和教师都没有感觉智力上的乐趣。但是大家都很累很苦。让名题进入考卷，应该大力提倡

引用:

原帖由 刘正谊 于 2010-6-28 16:50 发表
我记得这道题在华东师大的小丛书《几何变换》肖振纲著的轴对称变换那章有几种解法，好像是一道83年左右的竞赛题，特别老的一道题了，但是比较经典。直接。拿一道成题当考题，太不公平了。至少应该改改

原题不是这样，已经改过了
（1）是直角三角形的特殊情形（2）才是上述结论

这题真没代数法或者三角函数法不？
如果缺少总感觉空空的。

用三角也不难，但觉得有几何方法了就没必要用三角了，用几何更有美感一些。

先设未知数：角ABP=a，角PBC=b，AP=AC=1
那么角ACB=2a+2b，角ACP=角APC=2a+b，角PAC=180度-4a-2b，角BPC=180度-2b
所以角APB=360度-角APC-角BPC=360度-(2a+b)-(180度-2b)=180度-2a+b
角BAP=180度-角ABP-角APB=180度-a-(180度-2a+b)=a-b

BP=PC=2AC*cos角ACP=2cos(2a+b)

在三角形ABC中正弦定理有：AB/sin(角ACB)=AC/sin(角ABC)
即AB/sin(2a+2b)=1/sin(a+b)  =>  AB=2cos(a+b)

在三角形ABP中正弦定理有：AB/sin(角APB)=BP/sin(角BAP)
即2cos(a+b)/sin(2a-b)=2cos(2a+b)/sin(a-b)
=> cos(a+b)sin(a-b)=cos(2a+b)sin(2a-b)
=> sin(2a)-sin(2b)=sin(4a)-sin(2b)
=> sin(2a)=sin(4a)
=> sin(2a)(1-2cos(2a))=0
a=角ABP为锐角且小于60度（因为3(a+b)还小于180度），于是cos(2a)=1/2，a=30度

角BAP=a-b=30度-b
角PAC=180度-4a-2b=60度-2b=2*角BAP

所以结论成立了

[ 本帖最后由 longnetpro 于 2010-7-11 01:42 编辑 ]

直接拿已经不是一次了，06、07年23、25都是直接拿的，08年25题做了改动

没什么不公平的，能做到这种题的学生，本来就因该是及其优秀的

此题也可从作图过程中找到思路，转换为轴对称和共圆问题求解

"先设未知数：角ABP=a，角BPC=b"
这里有笔误，应该是 角PBC＝b

好，我喜欢这方法。知∠ABP＝30度时，同样可将ABP关于AB反射，这样解法就完整了。


PS：没想到会用积化和差，被新课标“整死思路”了。
PSS：各角关系那段写得太详细了，都直接跳过了。偶直接到“BP=PC=2AC*cos角ACP=2cos(2a+b)”（等腰三角形APC中)这里了，呵呵。

[ 本帖最后由 isea 于 2010-7-11 07:16 编辑 ]

至此，此题也就可以收官了吧。
现将E度社区李伟源的2010年北京中考数学压轴题的前世今生转过来，补实。

















[ 本帖最后由 isea 于 2010-7-11 11:09 编辑 ]

引用:

原帖由 tzhp6666 于 2010-7-10 19:45 发表
没什么不公平的，能做到这种题的学生，本来就因该是及其优秀的

同意。

引用:

原帖由 tzhp6666 于 2010-7-10 19:36 发表
直接拿已经不是一次了，06、07年23、25都是直接拿的，08年25题做了改动

能详细说说不？

06年23题，07年25题都都出现在04年《中等数学》同一片文章中，当然这两道题应该早就有了，中考几何题能用的东西太少，想不重太难

[ 本帖最后由 tzhp6666 于 2010-7-11 03:10 编辑 ]

引用:

原帖由 isea 于 2010-7-10 22:04 发表
至此，此题也就可以收官了吧。
现将E度社区李伟源的2010年北京中考数学压轴题的前世今生转过来，补实。

http://bbs.pep.com.cn/attachment.php?aid=283932&noupdate=yes&nothumb=yes

http://bbs.pep.com.cn/a ...

这些题不错，有兴趣做一下。不过本人既非老师，也不搞教育，更不学数学，纯属业余爱好，有题目不问出处，也没有研究过是否有标答或是在网上搜查答案，只是有空做一下而已。

所以，当你看到的我的解答有可能出现以下情况：
一、解法很差，很可能出现笔误甚至错误（本人水平有限，一般的题目可以做一下，太难的只好pass）
二、解法单一（做出一种就懒得想第二种，可能心血来潮的时候会弄一下）
三、由于是陈题，所以可能和某些答案重复，但我可以保证我没搜索过答案，全部经过本人自己思考，碰到这类情况不要说我有人品问题
四、无法发图（其实是懒得弄，我画图全部直接在画图板上手绘，不是需要非常精确不用几何画板），就只好尽量描述明确和详细，不过我会把题目原题写清楚，有时间和心情的朋友有空不妨帮助发一下图
五、有些步骤写得过于啰嗦，主要是为了避免误解和照顾多数人，高手可以直接无视，新手也不至于看一步还要想三步（当然我有时也会直接跳过N步，但这种情况比较少见）

先想到这里，慢慢再在后面补充，解答，所有的题目在下一楼解答，谢谢。

PS：15楼的图片5和6好像是一样的，是不是弄重复了？我觉得少了一张。作者说题目一共20多道，我看到只有19道。

[ 本帖最后由 longnetpro 于 2010-7-11 10:32 编辑 ]

看了一下，好像一共19道题，按顺序标为1至19，请各位自己对号入座，题目先打出来，便于对照。

1. AB=AC, 角A=20度，AD=BC，求证角BDC=30度。
以AC为边朝右作等边三角形ACE，易证ADE全等于ABC，于是AE=DE=EC，角ADE=80度，角AED=20度，角AEC=60度，所以角DEC=40度，角DEC=70度，角BDC=180度-80度-70度=30度。

2. AB=AC，AP=PQ=QB=BC，求角PCQ。
设角A=x，则角AQP=x，角QPC=角QCP=2x，角BQC=角BCQ=3x，角B=5x，所以有5x+5x+x=180度，x=180度/11，角PCQ=2x=360/11度。

3. AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，求角D。
三角形ABC及三角形AGF均为等腰三角形，且腰和底角相等，角角边知两三角形全等，故AF=AC。
又角DBC=角ADC=2*角A=角EGF=角AEF，于是角角边知三角形AFE和三角形ACD全等，所以AD=AE。
三角形ADE和三角形EFD均为等腰三角形且相似。
所以设角A=x，则角FGE=角FEG=2x，角FED=x，角AED=90度-x/2=3x，x=180/7度。

4. AB=AC，BC=CE=ED=DA，求角D。
设角EDA=x，过B作BF平行且等于CE，F在DE左侧，则BCEF为菱形。
显然角FBD=角EAD，AD=BC=BF，EA=BD，三角形BFD全等于三角形DEA，所以角DFB=角EDA=x，DF=DE=EC=EF。于是三角形EFD为正三角形。
角EFB=60度-x=角ECB=角EAB/2=(90度-角EDA/2)/2=45度-x/4。
即60度-x=45度-x/4 => x=20度，即所求的角D为20度。

5. 角BAC=角BCA=44度，角MCA=30度，角MAC=16度，求角BMC。
由条件可知，角BAM=28度，角AMC=134度。
以AC为边朝上做正三角形ACE（E在AC上方），显然可知，角EAB=16度，角AEB=30度。
于是三角形ABE全等于三角形ACM，所以AB=AM，角BMA=76度，所以角BMC=150度。

6. AC=BC，角ACB=80度，角MBA=30度，角MAB=10度，求角AMC。
似乎和第五题类似，向上做正三角形就好了，三角形AMC为等腰，角AMC=70度。

7. 角BAC=80度，角ABC=60度，角DAB=10度，角DBA=20度，求角ACD。
延长BD交AC于F，作A关于BF的对称点O，AD的垂直平分线交AB于E点。
显然三角形BAF为顶角为20度的等腰三角形，且三角形ADO为正三角形，BD=DE=AE。
角BAO=10度+60度=70度，所以角FAO=80度-70度=10度。
三角形AED和三角形AFO均为底角为10度的等腰三角形，且AD=AO，所以两三角形全等，于是AF=FO=AE=ED=BD。
注意到角FBC=60度-20度=40度=角FCB，于是FB=FC。
又角OFC=2*角OAF=20度，FO=BD，FC=BF=AB，故三角形ABD全等于三角形CFO，所以OC=AD=OA=OD。
于是角AOD=60度=2*(角ACO+角CCO)=2*角ACD，所以角ACD=30度。

8. AB=AC，角BAC=80度，角PBC=10度，角PCB=20度，求角PAB。
设角PAB=x。作P关于BC中垂线的对称点M及P关于AC的对称点N。
显然BMPC为等腰梯形，于是角MBP=角MPB=角PBC=10度，所以BM=MP=PC。
又角ACP=30度，所以三角形PCN为正三角形，于是PN=MP。
又三角形AMP及APN均为等腰三角形，且对应的腰和底都相等，于是由三边知两三角形全等。
于是角MAP=角PAN=2x。而由于对称，有角BAM=角PAC=x。
于是角BAC=x+2x+x=4x=80度，x=20度，即所求的角为20度。

9. 角C=90度，角CAD=30度，AC=BC=AD，求证BD=CD。
作D关于AC的对称点E点，显然三角形ADE为正三角形，于是AD=DE=AE，且CE=CD。
又角C=90度，且DE垂直于AC，所以DE平行于BC，角CDE=角DCB。
又DE=AD=AC=BC，由边角边，知三角形CDE全等于三角形CDB，所以CE=BD。
又由于对称，有CD=CE，故有BD=CD。

10. 正方形ABCD，角PAD=角PDA=15度，求证三角形PBC为等边三角形。
以AD为边在AD的上方作正三角形ADE，显然PE所在直线为AD的垂直平分线。
角APD=150度，所以角APE=角DPE=75度。而角EDP=60度+15度=75度，所以ED=EP。
于是EP=DE=AD=DC，同时PE和CD均垂直于AD，所以四边形EPCD为平行四边形，更进一步，由于两EP=DE，所以它还是菱形。
所以PC=CD=BC，同理，PB=BC，于是三角形PBC为正三角形。

11. BA垂直于CA且BA=CA，角PAC=角PCA=15度，求证BA=BP。
作法同上，此处略。

12. 角A=100度，AB=AC，AD=BC，求角BCD。
在BC上取一点E，使CE=AC。再作E点关于AD的对称点F。
于是角ABC=角ACB=40度，角CAE=70度，角BAE=30度，所以三角形AEF为正三角形，所以EF=EA。
易知BD=BE，角BDE=角BED=40度/2=20度。由对称可知，角FDE=40度。
于是三角形DFE和三角形AEC全等，得到DE=EC。而角BED=20度，所以角BCD=20度/2=10度。

13. AB=AC，角ABC=角ACB=50度，角ABE=30度，角BAD=50度，求角BED。
作正三角形ABF，F在BC下方。连AF，DF，EF，BF，CF。
角DBF=10度，角DFB=30度，所以角CDF=40度。
角FAC=20度，AF=AB=AC，所以角ACF=80度，角FCF=80度-50度=30度。
又角EFC=2*角EAF=40度，所以EDFC四点共圆，于是角DEF=角DCF=30度。
而角BEF=(180度-40度)/2=70度，所以角BED=70度-30度=40度。

14. 角DCE=10度，角DBC=30度，角ECB=20度，角ABD=40度，求角BAE。
稍后再帖。。。

15. AB=AC，角ABD=60度，角ADB=76度，角BDC=28度，求角DBC。
延长BD到E使BE=BA，则三角形ABE为正三角形，因此有AE=AB=AC，角EAD=16度。
此时角EDA=180度-76度=104度，而角ADC=76度+28度=104度。
这时不能用边边角证明三角形全等，但此时由于EA和CA对的角是钝角，可以转化成三边证明全等。
过A向EB作垂线，垂足为F，过A向CD的延长线作垂线，垂足为G。
由于已知的钝角相等，其补角也相等，且AD公用，因此由角角边知两直角三角形AFD和AGD全等。
于是AF=AG，DF=DG。这时再由RH，知两直角三角形AEF和三角形ACG全等，故EF=CG。
于是ED=EF-DF=CG-DG=CD。
这时再三边证明三角形EDA与三角形CDA全等，角CAD=16度。角DAB=28度，角CBA=76度，角CBD=16度。
事实上，ABCD四点共圆。
另：用余弦定理也可证明ED是惟一确定的：
因余弦定理列方程后ED^2-2ED*AD*cos(104度)+AD^2-AE^2=0，其中AE，AD都已知且对应相等。
由于AE所对角是钝角，因此AE最大，AD^2-AE^2 < 0，故以ED为变量的方程有且仅有惟一正根，它可以用已知的AE，AD及cos(104度)惟一表示出来。

16. 角DAC=12度，角CAB=36度，角ABD=48度，角DBC=24度，求角ACD。
显然AB=AC，因为36度为顶角的等腰三角形。
作B关于AD的对称点E点，于是有DE=DB=DA，角EAD=角DAB=12度+36度=48度。
角EAC=12度+48度=60度，且EA=AB=AC，于是三角形EAC为正三角形，EC=CA。
而显然三角形ECD全等于三角形ACD，所以角ACD=角ECA/2=30度。

17. 在正五边形ABCDE内部有一点P，已知角ABP=6度，角AEP=12度，求角PAC。
稍后再帖。。。

18. 角B=90度，角DAB=角D=96度，角BCD=78度，DA=2AB，求角CAB。
稍后再帖。。。

19. 角BAC=30度，角ABD=26度，角DBC=51度，角ACD=13度，求角CAD。
稍后再帖。。。



第18题以前做过，我自己的解法繁得。。。知道答案的同志们就不要鄙视了。。。过一阵再帖出来。

后面的题目开始越来越BT，有得想了。。。

到目前为止，连续做题8个小时了。。。从来没这么长时间过。。。

[ 本帖最后由 longnetpro 于 2010-8-18 11:19 编辑 ]

引用:

原帖由 longnetpro 于 2010-7-11 03:54 发表


PS：15楼的图片5和6好像是一样的，是不是弄重复了？我觉得少了一张。作者说题目一共20多道，我看到只有19道。

原链接传送门。

核实一下，15楼重复一图，不过，题就19题。

另外赶紧来 欣赏 longnetpro 妙手生花！


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longnetpro 兄台对第2题审错题，导致不合题意。受其启发，现简单纠正如下——


2.先给答案∠PCQ=30度。
此题是1的变式，1与2均与7有联系；所以很容易猜测到∠A=20度，下面给出证明过程。
考虑到BQ=BC，故在BC上边作出 菱形BCEQ（有CE//AQ），连接EC，EP。
另一方面，由题知AQ＝PC，从而，△QAP≌△PCE（SAS），所以，AP＝PE＝PQ＝QE。
即△PQE为等边三角形。

设∠A＝x，则，60度＝∠QPE＝∠QPC+∠CPE＝2x+x，故x＝20度，也就是∠A＝20度。
以下不难求出∠PCQ=30度。



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第12题，有另解（先求∠D）如下，相对简单一些。

12.以BC边向下作等边三角形BCE，连接AE。
在四边形ABEC中，容易求得∠ABE＝100度＝∠DAC，又AB＝AC，BE＝BC＝AD，
所以△ABE≌△CAD（SAS），所以∠D＝∠AEB＝30度。
从而∠BCD＝10度。



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对于第7题：

7. 角BAC=80度，角ABC=60度，角DAB=10度，角DBA=20度，求角ACD。

这真是一个经典难题，原longnetpro解法中的O是△ADC的外心，匪夷所思！让人敬佩。

现对此题，完全是角度的题，给一个 Ceva(塞瓦)定理角元形式的做法，我想正余弦定理也应该亦能搞定吧。



[ 本帖最后由 isea 于 2010-8-14 16:14 编辑 ]